Chứng minh một dãy là cấp số nhân
Khi chúng ta biết được một dãy số là cấp số nhân, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các phần tử tiếp theo mà không cần phải tìm công thức riêng cho từng số. Vì vậy hãy cùng Examon đi sâu vào phân tích và chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Mục lục bài viết
Bạn đã bao giờ nghe về cấp số nhân chưa? Đây là một dạng dãy số rất phổ biến trong toán học lớp 11 và có nhiều ứng dụng trong thế giới thực. Khi chúng ta biết được một dãy số là cấp số nhân, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các phần tử tiếp theo mà không cần phải tìm công thức riêng cho từng số.
Vì vậy Examon đi sâu vào phân tích và chứng minh một dãy số là cấp số nhân. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu và chứng minh xem một dãy số có thể được xem là cấp số nhân hay không. Hãy cùng Examon khám phá nhé!
1. Cấp số nhân là gì ?
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:
\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n}=u_{n-1} \cdot q\)
2. Phương pháp chứng minh
2.1. Phương pháp 1
Chứng minh \(\forall n \geq 1 ; u_{n+1}=u_{n} q\) trong đó q là một số không đổi.
2.2. Phương pháp 2
Chỉ ra tồn tại số \(\mathrm{k} \geq 2\) sao cho: \(\frac{u_{k+1}}{u_{k}} \neq \frac{u_{k}}{u_{k-1}}\)
2.3. Phương pháp 3
Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(\mathrm{n}\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)
\(T\) là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\).
\(T\) phụ thuộc vào \(n\) thì ( \(u_{n}\) ) không là cấp số nhân.
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài tập 1: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi: \(u_{n}=3^{2 n+2}\). Dãy \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân không ?
Lời giải:
Ta có: \(u_{n+1}=3^{2(n+2)+1}=3^{2 n+5}\)
Xét tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3^{2 n+5}}{3^{2 n+2}}= 3^3 = 27\) ( không đổi)
\(\Rightarrow\) Dãy số ( \(u_{n}\) ) là cấp số nhân với công bội \(q=27\).
3.2. Bài tập 2
Bài tập 2: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_{n}=\frac{n+2}{2 n+2}\). Dãy số ( \(u_{n}\) ) có phải là cấp số nhân không ?
Lời giải:
Ta có \(u_{n+1}=\frac{n+1+2}{2(n+1)+2}=\frac{n+3}{2 n+4}\)
Xét tỉ số: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{n+3}{2 n+4}: \frac{n+2}{2 n+2}=\frac{(n+3)(2 n+2)}{(2 n+4)(n+2)}-\) phụ thuộc vào \(\mathrm{n}\)
\(\Rightarrow\) Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) không là cấp số nhân.
3.3. Bài tập 3
Bài tập 3: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_{n}=2 n+10\). Chứng minh dãy số ( \(u_{n}\) ) không là cấp số nhân.
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathrm{u}_{1}=12 ; \mathrm{u}_{2}=14 ; \mathrm{u}_{3}=16 \\ \Rightarrow \frac{u_{3}}{u_{2}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}\end{array}\)
\(\Rightarrow\) dãy số \(\left(u_{n}\right)\) không là cấp số nhân.
4. Học cùng Examon
Qua bài viết, ta có thể thấy rằng việc nhận biết và chứng minh một dãy số là cấp số nhân không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của dãy số mà còn giúp chúng ta áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế. Hy vọng rằng với những kiến thức và bài tập đã được trình bày trong bài viết này, các em sẽ có thêm nhiều cơ hội để phát triển khả năng suy luận và logic của mình. Chúc các em học tập tốt và thành công trên con đường trở thành những nhà toán học tài ba!
Bạn có thể tham khảo phương pháp học tập hiệu quả của Examon.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!