Chứng minh đẳng thức lượng giác sử dụng công thức biến đổi

1. Phương pháp giải

- Với dạng toán này chúng ta thường xuất phát từ một vế của đẳng thức cần chứng minh, áp dụng các công thức, kết hợp rút gọn, nhóm số hạng,... một cách hợp lý biến đổi biểu thức đó đồng nhất được với biểu thức ở vế kia.

- Tuỳ vào bài toán cụ thể, đôi khi phương pháp biến đổi tương đương, hoặc chứng minh cả hai vế của đẳng thức cùng bằng với biểu thức trung gian,... cũng có thể được sử dụng.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Chứng minh rằng \(4 \cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\cos 3 x\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Lời giải.

Ta có \(4 \cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)=4 \cos x \cdot \frac{1}{2}\left[\cos (-2 x)+\cos \frac{2 \pi}{3}\right]\)

\[=2 \cos x \cos 2 x-\cos x=\cos 3 x+\cos (-x)-\cos x=\cos 3 x, \forall x \in \mathbb{R} .\]

Vậy \(4 \cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\cos 3 x\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh rằng \(\cos ^{3} a \cos 3 a-\sin ^{3} a \sin 3 a=\frac{3}{4} \cos 4 a+\frac{1}{4}\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Lời giải.

Ta có

\(\cos ^{3} a \cos 3 a-\sin ^{3} a \sin 3 a=(\cos 3 a \cos a) \cos ^{2} a-(\sin 3 a \sin a) \sin ^{2} a\)

\(\begin{array}{l}=\frac{1}{2}[\cos 2 a+\cos 4 a] \cos ^{2} a-\frac{1}{2}[\cos 2 a-\cos 4 a] \sin ^{2} a \\ =\frac{1}{2} \cos 2 a \cos ^{2} a+\frac{1}{2} \cos 4 a \cos ^{2} a-\frac{1}{2} \cos 2 a \sin ^{2} a+\frac{1}{2} \cos 4 a \sin ^{2} a \\ =\frac{1}{2} \cos 2 a\left(\cos ^{2} a-\sin ^{2} a\right)+\frac{1}{2} \cos 4 a\left(\cos ^{2} a+\sin ^{2} a\right)\end{array}\)

\(=\frac{1}{2} \cos 2 a \cos 2 a+\frac{1}{2} \cos 4 a=\frac{1}{4}(\cos 4 a+\cos 0)+\frac{1}{2} \cos 4 a=\frac{3}{4} \cos 4 a+\frac{1}{4}, \forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy \(\cos ^{3} a \cos 3 a-\sin ^{3} a \sin 3 a=\frac{3}{4} \cos 4 a+\frac{1}{4}\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

2.3 Ví dụ 3

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức say đây không phụ thuộc vào biến số \(x\) :

\[S=\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)\]

Lời giải.

Ta có \(S=\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)\)

\(=\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}+2 x\right)}{2}+\frac{1+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}-2 x\right)}{2}\)

\(=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{4 \pi}{3}+2 x\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}-2 x\right)\right]\)

\(=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{4 \pi}{3} \cos 2 x=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \cos 2 x=\frac{3}{2}\)

Vậy \(S=\frac{3}{2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (không phụ thuộc vào biến số \(x\) ).

3. Bài tập tự luyện

Bài tập

Chứng minh các đẳng thức sau đây:

a) \(\cos 5 x \cos 3 x+\sin 7 x \sin x=\cos 2 x \cos 4 x\)

b) \(\frac{\cos 5 a-\cos a}{\sin 4 a+\sin 2 a}=-2 \sin a\)

c) \(\sin 5 x-2 \sin x(\cos 2 x+\cos 4 x)=\sin x\)

d) \(\cos 5 x \cos x+\sin 3 x \sin x=\cos 2 x \cos 4 x\)

e) \(\frac{1+\sin 2 a+\cos 2 a}{1+\sin 2 a-\cos 2 a}=\cot a\)

f) \(2(\sin a \cos 2 a-\sin 2 a \cos 3 a)+\sin 5 a=\sin 3 a\)

g) \(\frac{\sin a+\sin 3 a}{\cos a+\cos 3 a}=\tan 2 a\)

h) \(\frac{1+\cos \alpha+\cos 2 \alpha+\cos 3 \alpha}{2 \cos ^{2} \alpha+\cos \alpha-1}=2 \cos \alpha\)

i) \(\frac{\sin 2 \alpha+\sin 4 \alpha+\sin 6 \alpha}{1+\cos 2 \alpha+\cos 4 \alpha}=2 \sin 2 \alpha\)

j) \(\frac{2 \sin 2 a+\sin 4 a}{2(\cos a+\cos 3 a)}=\tan 2 a \cos a\)

k) \(\frac{\sin 2 a-\sin 3 a+\sin 4 a}{\cos 2 a-\cos 3 a+\cos 4 a}=\tan 3 a\)

l) \(\sin 2 \alpha-\sin 4 \alpha+\sin 6 \alpha=4 \sin \alpha \cos 2 \alpha \cos 3 \alpha\)

m) \(\cos 3 x \sin ^{3} x+\sin 3 x \cos ^{3} x=\frac{3}{4} \sin 4 x\)

n) \(1+\sin a+\cos a=2 \sqrt{2} \cos \frac{a}{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\)

o) \(\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=\tan \frac{a+b}{2}\)

4. Bứt phá điểm số cùng Examon

Như vậy, bài viết Chứng minh đẳng thức lượng giác có sử dụng công thức biến đổi đã nêu đủ từ phương pháp giải, ví dụ, công thức mở rộng đến bài tập vận dụng. Hy vọng sau khi đọc song thì các bạn học sinh đã phần nào biết cách giải các dạng bài như vậy. Examon tin rằng khi các bạn làm hết được các bài tập trên thì đã nắm được 90% của bài.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Phân phối chương trình

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh