Chứng minh đẳng thức lượng giác

- Để chứng minh đẳng thức lượng giác, ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia hoặc chứng minh hai vế cùng bằng một biểu thức nào đó hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức luôn đúng đã biết.

+) Dựa vào định nghĩa giá trị lượng giác của một góc \(a\left(0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}\right)\).

+) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc a thỏa mãn \(0^{\circ} \leq a \leq 180^{\circ}\), ta luôn có:\(\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cos \alpha ;\)

\(\tan \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\cot \left(a \neq 90^{\circ}\right)\);\(\cot \left(90^{\circ}-a\right)=\tan \left(0^{\circ}\lt a\lt 180^{\circ}\right)\).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc a thỏa mãn \(0^{\circ} \leq a \leq 180^{\circ}\), ta luôn có:\(\sin \left(180^{\circ}-a\right)=\sin a\)

\(\cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\cos \alpha ;\)\(\tan \left(180^{\circ}-\alpha\right)=-\tan a\left(\alpha \neq 90^{\circ}\right)\);

+) Dựa vào tính chất của tổng ba góc của một tam giác bằng \(180^{\circ}\).

+) Sử dụng các hệ thức

Với mọi góc \(a\) thỏa mãn \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}\), ta đều có:

Chú ý: khai thác giải thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 1. Cho góc \(a\) thỏa mãn \(0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}\). Chứng minh rằng

Cách 1. 

Ta có:\(\cos ^{4} \alpha=\left(\cos ^{2} \alpha\right)^{2}=\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)^{2}=1-2 \sin ^{2} \alpha+\sin ^{4} \alpha\)Do đó: \(\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} \alpha=\sin ^{4} \alpha-\left(1-2 \sin ^{2} a+\sin ^{4} a\right)=2 \sin ^{2} \alpha-1\)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cách 2. 

Ta có :\(\sin ^{4} \alpha-\sin ^{4} \alpha=\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} a\right)\left(\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\right)\)

Vậy \(\sin ^{4} \alpha-\cos ^{4} a=2 \sin ^{2} \alpha-1\).

Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho tam giác \(A B C\). Chứng minh rằng: \(\cos A=-\cos (B+C)\).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(\mathrm{ABC}\), ta có \(=180^{\circ}\).

Suy ra: \(180^{\circ}-\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\).

Do đó: \(\cos \left(180^{\circ}-A\right)=\cos (B+C)\).

Lại có: \(\cos \left(180^{\circ}-\mathrm{A}\right)=-\cos \mathrm{A} \quad\) (quan hệ giữa hai góc bù nhau).

Khi đó ta có: \(-\cos A=\cos (B+C) \Leftrightarrow \cos A=-\cos (B+C)\).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: \(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\frac{1}{4} \cos 4 x+\frac{3}{4}\)

(Áp dụng công thức hạ bậc) Ta có:

Suy ra điều phải chứng minh 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:\(\cos 3 x \cdot \sin ^{3} x+\sin 3 x \cdot \cos ^{3} x=\frac{3}{4} \sin 4 x\)

(Áp dụng công thức góc nhân ba) Ta có:

Suy ra điều phải chứng minh