Chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất cấp số nhân

1. Phương pháp giải

Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: \(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}{ }^{2}=\mathrm{u}_{\mathrm{n}-1} \cdot \mathrm{u}_{n+1}\) với \(\mathrm{n} \geq 2\).
Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: \(\mathrm{ac}=\mathrm{b}^{2}\).

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:

(ab+ \(b c+c a)^{3}=a b c(a+b+c)^{3}\)

Lời giải chi tiết

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có \(a c=b^{2}\).

Ta có:

\(a b c(a+b+c)^{3}=b^{3} \cdot(a+b+c)^{3}\left(\right.\) vì \(\left.a c=b^{2}\right)\)

\(=\left(a b+b^{2}+b c\right)^{3}=(a b+a c+b c)^{3}(đ p c m)\).

2.2 Ví dụ 2

Cho 3 số \(a, b\) và \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 0 và \(a \neq\)0. Chứng minh: \(\frac{b^{4}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{b^{2}}{a b}=\frac{a^{2} \cdot c^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{a c}{a b}\)

Lời giải chi tiết

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên

ta có:

\(\mathrm{b}^{2}=\mathrm{ac}\) và \(\mathrm{b}^{4}=\mathrm{a}^{2} \cdot \mathrm{c}^{2}\)

\(=\gt b^{2}-a c=0 \quad\) và \(b^{4}-a^{2} c^{2}=0 \quad(*)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{b^{4}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{b^{2}}{a b}=\frac{a^{2} \cdot c^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{a c}{a b} \\ \Leftrightarrow \frac{b^{4}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{a^{2} \cdot c^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}=\frac{b^{2}}{a b}-\frac{a c}{a b}\end{array}\)

Lại có: \(\frac{b^{4}}{a^{2} \cdot b^{2}}-\frac{a^{2} \cdot c^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}=\frac{b^{4}-a^{2} \cdot c^{2}}{a^{2} \cdot b^{2}}=0\) (do (*) ( 2)

Và \(\frac{b^{2}}{a b}-\frac{a c}{a b}=\frac{b^{2}-a c}{a b}=0\left(\mathrm{do}\left({ }^{*}\right)\right)(3)\)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

2.3 Ví dụ 3

Cho bốn số dương \(a, b, c\) và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân.

Chứng \(\operatorname{minh}: \frac{c}{d(a+c)}=\frac{1}{b+d}\)

Lời giải chi tiết

Gọi 4 số a,b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

\(\mathrm{c}=\mathrm{a} \cdot \mathrm{q}^{2} ; \mathrm{b}=\mathrm{aq}, \mathrm{d}=\mathrm{aq}^{3}\) và \(\mathrm{d}=\mathrm{cq}\) nên \(\frac{c}{d}=\frac{1}{q}\)

Khi đó; \(\frac{c}{d(a+c)}=\frac{c}{d} \cdot \frac{1}{a+c}=\frac{1}{q} \cdot \frac{1}{a+a \cdot q^{2}}=\frac{1}{q a\left(1+q^{2}\right)}\)

Và \(\frac{1}{b+d}=\frac{1}{a q+a q^{3}}=\frac{1}{a q\left(1+q^{2}\right)}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{c}{d(a+c)}=\frac{1}{b+d}\) ( điều phải chứng minh).

3. Bài tập rèn luyện( có đáp án)

3.1 Bài 1

Cho \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân và các số nguyên dương \(m ; k(m\lt k)\). Chứng minh:\(u_{k-m} \cdot u_{k+m}=u_{k^{2}}\)

Lời giải

Ta có :

\[\begin{aligned}u_{k-m} \cdot u_{k+m} & =u_{1} \cdot q^{k-m-1} \cdot u_{1} \cdot q^{k+m-1} \\& =u_{1}^{2} \cdot q^{2 k-2} \\& =\left(u_{1} \cdot q^{k-1}\right)^{2} \\& =u_{k}^{2}(\text { đpcm })\end{aligned}\]

3.2 Bài 2

Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: \(a+b+c=\frac{3 \pi}{4}\). Chứng minh tan \(a\); tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có \(a, b\) và \(c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên \(a+c=2 b\).

Lại có: \(a+b+c=\frac{3 \pi}{4}=\gt 3 b=\frac{3 \pi}{4} \Leftrightarrow b=\frac{\pi}{4}\)

Suy ra \(a+c=\frac{\pi}{2}\)

* Ta có

\(\tan a \cdot \tan c=\tan a \cdot \tan \left(\frac{\pi}{2}-a\right)\)

\[=\tan a \cdot \cot a=1=\tan ^{2} \frac{\pi}{4}=\tan ^{2} b\]

Vậy tan a. tan c= \(\tan ^{2}\)

=> tana; tanb; tanc theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

3.3 Bài 3

Cho ba số dương \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân. Chứng minh: \(\frac{1}{3}(a+b+c) ; \sqrt{\frac{1}{3}(a b+b c+c a)} ; \sqrt[3]{a b c}\) cũng lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: \(a c=b^{2}\)

*Ta phải chứng minh:

\[\begin{array}{l}\frac{1}{3}(a+b+c) \cdot \sqrt[3]{a b c}=\left(\sqrt{\frac{1}{3}(a b+b c+c a)}\right)^{2} \\\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a+b+c) \sqrt[3]{b^{3}}=\frac{1}{3}(a b+b c+c a) \\\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a+b+c) b=\frac{1}{3}(a b+b c+c a) \\\Leftrightarrow \frac{1}{3}\left(a b+b^{2}+c b\right)=\frac{1}{3}(a b+b c+c a) \\\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a b+a c+c b)=\frac{1}{3}(a b+b c+c a)(d p c m)\end{array}\]

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Qua bài viết, Examon đã giới thiệu cho các bạn về phương pháp giải, ví dụ minh họa cũng như bài tập củng cố. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được các bài tập trên thì các bạn đã nắm vững được cách giải dạng chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất cấp số nhân. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều dạng bài tập mới về cấp số nhân nhé!

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ TOÁN 11

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh