Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến

Khuất Duyên

Bài viết Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến được Examon tổng hợp đầy đủ từ A đến Z. Hãy tham khảo ngay nào!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
    • 2.1 Ví dụ 1
    • 2.2 Ví dụ 2
    • 2.3 Ví dụ 3
  • 3. Bài tập rèn luyện
  • 4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Nếu bạn không biết cách làm bài toán liên quan đến Chứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến thì sau khi đọc song bài viết này bạn sẽ có thể giải bài một cách dễ dàng. Examon giới thiệu cho bạn cách giải bài toán liên quan đến công thức cộng lượng giác. Bài viết này bao gồm đầy đủ từ lý thuyết đến bài tập để cho các bạn dễ dàng tiếp cận kiến thức và ghi nhớ nhanh hơn. 

banner

1. Phương pháp giải

-Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giàn là:Vì biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi, do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức: 

-Ta cần sử dụng linh hoạt các kiến thức sau:

  • Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
  • Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
  • Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ .

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(\mathrm{x}\).

\[P=\sqrt{\sin ^{4} x+6 \cos ^{2} x+3 \cos ^{4} x}+\sqrt{\cos ^{4} x+6 \sin ^{2} x+3 \sin ^{4} x}\]

Lòi giải

\[\begin{aligned}P= & \sqrt{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}+6 \cos ^{2} x+3 \cos ^{4} x}+\sqrt{\left(1-\sin ^{2} x\right)^{2}+6 \sin ^{2} x+3 \sin ^{4} x} \\& =\sqrt{4 \cos ^{4} x+4 \cos ^{2} x+1}+\sqrt{4 \sin ^{4} x+4 \sin ^{2} x+1} \\& =\sqrt{\left(2 \cos ^{2} x+1\right)^{2}}+\sqrt{\left(2 \sin ^{2} x+1\right)^{2}} \\& =2 \cos ^{2} x+1+2 \sin ^{2} x+1 \\& =3\end{aligned}\]

Vậy \(\mathrm{P}\) không phụ thuộc vào \(x\).

2.2 Ví dụ 2

Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến \(\mathrm{x}\) :\(A=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)-2 \sin ^{2} x\)

Lời giải

\(\begin{array}{l}\mathrm{} \mathrm{A}=\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\mathrm{x}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\mathrm{x}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-\mathrm{x}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{x}\right)-2 \sin ^{2} \mathrm{x} \\ \Leftrightarrow 2 \mathrm{~A}=1+\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-2 x\right)+1+\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 x\right) 1+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}-2 x\right) 1+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}+2 x\right)-2(1-\cos 2 x) \\ \Leftrightarrow 2 \mathrm{~A}=2+\left[\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-2 x\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 x\right)\right]+\left[\cos \left(\frac{4 \pi}{3}-2 x\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{3}+2 x\right)\right]+2 \cos 2 x \\ \Leftrightarrow 2 A=2+2 \cos 2 x \cos \frac{4 \pi}{3}+2 \cos 2 x \cos \frac{4 \pi}{3}+2 \cos 2 x \\ \Leftrightarrow A=1-\cos 2 x-\cos 2 x+2 \cos 2 x \\ \Leftrightarrow A=1\end{array}\)

Examon.png
Luyện đề cấp tốc cùng Examon

2.3 Ví dụ 3

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc \(\mathrm{x}\) :

a) \(A=2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x\)

b) \(B=\frac{2}{\tan x-1}+\frac{\cot x+1}{\cot x-1}\)

HD

a) Ta có:

\[\begin{aligned}A & =2 \cos ^{4} x-\sin ^{4} x+\sin ^{2} x \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x \\& =2 \cos ^{4} x-\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}+\left(1-\cos ^{2} x\right) \cos ^{2} x+3\left(1-\cos ^{2} x\right) \\& =2 \cos ^{4} x-\left(1-2 \cos ^{2} x+\cos ^{4} x\right)+\cos ^{2} x-\cos ^{4} x+3-3 \cos ^{2} x \\& =2\end{aligned}\]

b) Với điều kiện \(\sin x \cdot \cos x \neq 0, \tan x \neq 1\)

Ta có:

\[\begin{array}{l}B=\frac{2}{\tan x-1}+\frac{\cot x+1}{\cot x-1} \\=\frac{2}{\tan x-1}+\frac{\frac{1}{\tan x}+1}{\frac{1}{\tan x}-1}=\frac{2}{\tan x-1}+\frac{\tan x+1}{\cot x-1} \\=\frac{2-(1-\tan x)}{1-\tan x}=\frac{1-\tan x}{\tan x-1}=-1 \\\end{array}\]

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến \(\mathrm{x}\) :

a. \(B=\cos ^{2} x+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)\)

b. \(C=\sin ^{2} x+\sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)+\sin ^{2}\left(\frac{2 \pi}{3}+x\right)\)

Bài 2: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến \(\mathrm{x}\) :

a. \(A=\cos ^{2}(x-a)+\cos ^{2} x-2 \cos a \cos x \cos (a-x)\)

b. \(B=\cos ^{2}(x-a)+\sin ^{2}(x-b)-2 \cos (x-a) \sin (x-b) \sin (a-b)\)

Bài 3: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:

a.\(\frac{\operatorname{cotg}^{2} \frac{x}{2}-\operatorname{cotg}^{2} \frac{3 x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2} \cdot \cos x\left(1+\operatorname{cotg}^{2} \frac{3 x}{2}\right)}\)

b. \(B=\sin ^{4} x\left(1+\sin ^{2} x\right)+\cos ^{4} x\left(1+\cos ^{2} x\right)+5 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\)

c. \(D=3\left(\sin ^{8} x-\cos ^{8} x\right)-4\left(\sin ^{6} x-\cos ^{6} x\right)+6 \sin ^{4} x\)

d.\(C=\sin ^{8} x+\cos ^{8} x+6 \sin ^{4} x \cos ^{4} x+2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x+1\)

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viếtChứng minh biểu thức lượng giác không phụ thuộc vào biến, hy vong bài viết sẽ giúp các bạn nắm vững các kiến thưc về phần lương giác. Chúc các bạn thành công trên con đường học tập.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ 

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

 

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGKTiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP7
Bài 1. Mệnh đề toán học3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp3
Bài tập cuối chương I1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn3
Bài tập cuối chương II1

 

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

anh.png

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

anh.png

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh