Chủ đề Phương pháp đổi biến tìm Nguyên hàm

Nếu f(x) có chứa \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) 

ta đặt:

\(x=a \sin t\left(t \in\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\right)\)

Dạng \(\sqrt{x^{2}+a^{2}}\) thì ta đổi biến số 

\(x=a \tan t,\left(t \in\left(-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)\right)\)

=>

Dạng  \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)

thì ta đặt

 \(x=\frac{a}{\sin t}\) (hoặc \(x=\frac{a}{\cos t}\) ).

Dạng \(\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}\) thì ta đặt \(x=a \tan t\).

Nếu f(x) có chứa \(\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}\)

 thì đặt:

\(x=a \cos 2 t \longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=d(a \cos 2 t)=-2 a \cdot \sin 2 t d t \\ \sqrt{\frac{a+x}{a-x}}=\sqrt{\frac{1+\cos 2 t}{1-\cos 2 t}}=\sqrt{\frac{\cos ^{2} t}{\sin ^{2} t}}\end{array}\right.\)

Một số kết quả quan trọng cần lưu ý khi giải trắc nghiệm

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(I_{1}=\int \frac{d x}{x^{2}+1} ;(a=1)\)

b) \(I_{2}=\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x\)

c) \(I_{3}=\int \frac{x^{2} d x}{\sqrt{x^{2}+4}} ;(a=2)\)

giải:

a. đặt x = tanx 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=d(\tan t)=\frac{d t}{\cos ^{2} t}=\left(1+\tan ^{2} t\right) d t \\ 1+x^{2}=1+\tan ^{2} t\end{array}\right.\)

=> \(I_{1}=\int \frac{\left(1+\tan ^{2} t\right) d t}{1+\tan ^{2} t}=\int d t=t+C\)

từ giả thiết ta đặt x=tant

<=> t=arc tanx => I1=arc tanx +C

b. Ta có 

I2= \(\int \sqrt{x^{2}+2 x+5} d x=\int \sqrt{(x+1)^{2}+4} d(x+1)\)

\(\xrightarrow{t=x+1} I=\int \sqrt{t^{2}+4} d t\)

Đặt t = 2tanu 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d t=d(2 \tan u)=\frac{2 d u}{\cos ^{2} u} \\ \sqrt{4+t^{2}}=\sqrt{4+4 \tan ^{2} u}=\frac{2}{\cos u}\end{array}\right.\)

=> I2 = \(\frac{2 d u}{\frac{2}{\cos u} \cdot \cos ^{2} u}=\int \frac{d u}{\cos u}=\int \frac{\cos u d u}{\cos ^{2} u}\)

\(=\int \frac{d(\sin u)}{1-\sin ^{2} u}=\frac{1}{2} \int \frac{(1+\sin u)+(1-\sin u)}{(1+\sin u)(1-\sin u)} d(\sin u)\)

= \(\frac{1}{2} \int \frac{d(\sin u)}{1-\sin u}+\frac{1}{2} \int \frac{d(\sin u)}{1+\sin u}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin u}{1-\sin u}\right|+C\).

từ phép đặt t = 2tanu

<=> tan u = t/2

=> \(\frac{1}{\cos ^{2} u}=1+\frac{t^{2}}{4}\)

=> \(\sin ^{2} u=1-\cos ^{2} u=1-\frac{4}{4+t^{2}}=\frac{t^{2}}{4+t^{2}}\)

từ đó ta được 

I2=\(\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\sin u}{1-\sin u}\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\frac{t}{\sqrt{4+t^{2}}}}{1-\frac{t}{\sqrt{4+t^{2}}}}\right|+C\)

= \(\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}}{1-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2 x+5}}}\right|+C\)

c. đặt x = 2tant 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=d(2 \tan t)=\frac{2 d t}{\cos ^{2} t}=2\left(1+\tan ^{2} t\right) d t \\ \sqrt{x^{2}+4}=\sqrt{4 \tan ^{2} t+4}\end{array}\right.\)

=> I2 \(=\int \frac{4 \tan ^{2} t \cdot 2\left(1+\tan ^{2} t\right) d t}{2 \sqrt{1+\tan ^{2} t}}=4 \int \tan ^{2} t \sqrt{1+\tan ^{2} t} d t\)

 \(=4 \int \frac{\sin ^{2} t}{\cos ^{3} t} d t\)

\(=4 \int \frac{\sin ^{2} t \cdot \cos t d t}{\cos ^{4} t}=4 \int \frac{\sin ^{2} t \cdot d(\sin t)}{\left(1-\sin ^{2} t\right)^{2}}\)

Đặt u = sint

=> \(I_{3}=4 \int \frac{u^{2}}{\left(1-u^{2}\right)^{2}} d u=4 \int\left(\frac{u}{1-u}\right)^{2} d u\)

= \(\int\left[\frac{1}{2} \frac{(1+u)-(1-u)}{(1+u)(1-u)}\right]^{2} d u\)

\(=\int\left(\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}\right)^{2} d u=\int \frac{d u}{(1-u)^{2}}+\int \frac{d u}{(1+u)^{2}}-\int \frac{2 d u}{(1-u)(1+u)}\)

\(=-\int \frac{d(1-u)}{(1-u)^{2}}+\int \frac{d(1+u)}{(1+u)^{2}}-\int \frac{(1-u)(1+u) d u}{(1-u)(1+u)}\)

\(=-\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}-\int\left(\frac{1}{1+u}+\frac{1}{1-u}\right) d u\)

= \(-\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}-\int \frac{d u}{1+u}-\int \frac{d u}{1-u}\)

\(=-\frac{1}{1-u}-\frac{1}{1+u}-\ln |1+u|+\ln |u-1|+C\)

\(=\frac{1}{u-1}-\frac{1}{1+u}+\ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right|+C\)

lại có x= 2tant 

<=> an \(t=\frac{x}{2} \longrightarrow \frac{1}{\cos ^{2} t}=1+\tan ^{2} t=1+\frac{x^{2}}{4}\)

<=> \(\cos ^{2} t=\frac{4}{4+x^{2}} \longrightarrow \sin ^{2} t=\frac{x^{2}}{4+x^{2}}\)

<=> \(\sin t=\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}\)

-> \(I_{3}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}-1}-\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}+1}+\ln \left|\frac{\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}-1}{\frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}}+1}\right|+C\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(I_{1}=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}\).

b) \(I_{2}=\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-4}}\).

c) \(I_{3}=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-2 x-2}}\).

giải:

a) Đặt \(x=\frac{1}{\sin t} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=d\left(\frac{1}{\sin t}\right)=\frac{-\cos t d t}{\sin ^{2} t} \\ \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\frac{1}{\sin ^{2} t}-1}\end{array}\right.\)

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{-\cos t d t}{\sin ^{2} t} \\ \sqrt{x^{2}-1}=\cot t\end{array}\right.\)

=> \(I_{1}=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-1}}=\int \frac{-\cos t d t}{\sin ^{2} t \cdot \cot t}\)

= \(-\int \frac{\sin t d t}{\sin ^{2} t}=\int \frac{d(\cos t)}{1-\cos ^{2} t}\)

 \(=\int \frac{d(\cos t)}{(1-\cos t)(1+\cos t)}=\frac{1}{2} \int \frac{(1-\cos t)+(1+\cos t)}{(1-\cos t)+(1+\cos t)} d(\cos t)\)

= \(\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\cos t}{1-\cos t}\right|+C\)

Từ phép đặt 

\(x=\frac{1}{\sin t} \Rightarrow \cos ^{2} t=1-\sin ^{2} t=1-\frac{1}{x^{2}}\)

<=> cost = \(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} \Rightarrow I_{1}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}}{1-\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}}\right|+C\).

b. Đặt \(x=\frac{2}{\sin t} \longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=d\left(\frac{2}{\sin t}\right)=\frac{-2 \cos t d t}{\sin ^{2} t} \\ \sqrt{x^{2}-4}=\sqrt{\frac{4}{\sin ^{2} t}-4}\end{array}\right.\)

<=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{-2 \cos t d t}{\sin ^{2} t} \\ \sqrt{x^{2}-4}=2 \cos t \Rightarrow x^{2} \sqrt{x^{2}-4}=\frac{8 \cot t}{\sin ^{2} t}\end{array}\right.\)

khi đó I2 = \(\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-4}}=\int \frac{-2 \cos t d t}{\sin ^{2} t \cdot \frac{8 \cot t}{\sin ^{2} t}}\)

= \(-\frac{1}{4} \int \sin t d t=\frac{1}{4} \cos t+C\).

từ x = \(\frac{2}{\sin t} \longrightarrow \cos ^{2} t=1-\sin ^{2} t\)

 \(=1-\frac{4}{x^{2}} \Leftrightarrow \cos t=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x} \longrightarrow I_{2}=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{4 x}+C\).

c. \(I_{3}=\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-2 x-2}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^{2}-3}}\)

\(\xrightarrow{t=x-1} I_{3}=\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}-3}}=\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}-(\sqrt{3})^{2}}}\)

đặt t  \(=\frac{\sqrt{3}}{\sin u} \longrightarrow\left\{\begin{array}{l}d t=d\left(\frac{\sqrt{3}}{\sin u}\right)=\frac{-\sqrt{3} \cos u d u}{\sin ^{2} u} \\ \sqrt{t^{2}-3}=\sqrt{\frac{3}{\sin ^{2} u}-3}\end{array}\right.\)

<=> \(\left\{\begin{array}{l}d t=\frac{-\sqrt{3} \cos u d u}{\sin ^{2} u} \\ \sqrt{t^{2}-3}=\sqrt{3} \cot u\end{array}\right.\)

=> \(I_{3}=\int \frac{d t}{\sqrt{t^{2}-3}}=\int \frac{-\sqrt{3} \cos u d u}{\sin ^{2} u \cdot \sqrt{3} \cot u}\)

= \(-\int \frac{\sin u d u}{\sin ^{2} u}=\int \frac{d(\cos u)}{1-\cos ^{2} u}=\int \frac{d(\cos u)}{(1-\cos u)(1+\cos u)}\)

\(=\frac{1}{2} \int \frac{(1-\cos u)+(1+\cos u)}{(1-\cos u)(1+\cos u)} d(\cos u)=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\cos u}{1-\cos u}\right|+C\)

\(t=\frac{\sqrt{3}}{\sin u} \Rightarrow \cos ^{2} u=1-\frac{3}{t^{2}} \Leftrightarrow \cos t=\frac{\sqrt{t^{2}-3}}{t}\)

=> \(I_{3}=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\frac{\sqrt{t^{2}-3}}{t}}{1-\frac{\sqrt{t^{2}-3}}{t}}\right|+C=\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+\frac{\sqrt{x^{2}-2 x-2}}{x-1}}{1-\frac{\sqrt{x^{2}-2 x-2}}{x-1}}\right|+C\)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) \(I_{1}=\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}} ;(a=2)\)

b) \(I_{2}=\int \sqrt{1-x^{2}} d x ;(a=1)\)

giải:

a. đặt x = 2sint

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=d(2 \sin t)=2 \cos t d t \\ \sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4 \sin ^{2} t}=2 \cos t\end{array}\right.\)

=> \(I_{1}=\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\int \frac{2 \cos t d t}{2 \cos t}=\int d t=t+C\)

từ phép đặt x = 2 sint

<=> \(t=\arcsin \left(\frac{x}{2}\right) \longrightarrow I_{1}=\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)+C\)

b. đặt x = sint 

=> \(\left\{\begin{array}{l}d x=d(\sin t)=\cos t d t \\ \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\cos t\end{array}\right.\)

khi đó \(I_{2}=\int \sqrt{1-x^{2}} d x=\int \cos t \cdot \cos t d t\)

=\(\int \frac{1+\cos 2 t}{2} d t=\frac{1}{2} \int d t+\frac{1}{2} \int \cos 2 t d t=\frac{t}{2}+\frac{1}{4} \sin 2 t+C\)

từ x = sint => \(\left\{\begin{array}{l}\cos t=\sqrt{1-\sin ^{2} t}=\sqrt{1-x^{2}} \\ t=\arcsin x\end{array}\right.\)

=> \(\sin 2 t=2 \sin t \cdot \cos t=2 x \sqrt{1-x^{2}}\)

=> \(I_{2}=\frac{\arcsin x}{2}+\frac{1}{2} x \sqrt{1-x^{2}}+C\)