Chủ đề Nguyên hàm của hàm lượng giác

\(\begin{array}{l}I_{1}=\int \sin x d x=-\cos x+C \\ I_{2}=\int \sin (a x) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x)+C \\ I_{3}=\int \cos x d x=\sin x+C \\ \mathrm{I}_{4}=\int \cos (\mathrm{ax}) \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \sin (\mathrm{ax})+C \\ \mathrm{I}_{5}=\int \sin ^{2} \mathrm{xdx}=\int \frac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2}-\frac{\sin 2 \mathrm{x}}{4}+C \\ I_{6}=\int \cos ^{2} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}+C \\ \mathrm{I}_{7}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\cos ^{2} \mathrm{x}}=\tan \mathrm{x}+\mathrm{C} \\ \mathrm{I}_{8}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\cos ^{2}(\mathrm{ax})}=\frac{1}{\mathrm{a}} \tan (\mathrm{ax})+\mathrm{C} \\ I_{9}=\int \frac{d x}{\sin ^{2}(a x)}=-\cot x+C \\ \mathrm{I}_{10}=\int \frac{\mathrm{dx}}{\sin ^{2}(\mathrm{ax})}=-\frac{1}{\mathrm{a}} \cot (\mathrm{ax})+\mathrm{C} \\ I_{11}=\int \tan x d x=\int \frac{\sin x d x}{\cos x}=-\ln |\cos x|+C \\ I_{12}=\int \cot x d x=\int \frac{\cos x d x}{\sin x}=\ln |\sin x|+C \\ I_{13}=\int \tan ^{2} x d x=\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-1\right) d x=\tan x-x+C \\\end{array}\)

\(I_{14}=\int \cot ^{2} x d x=\int\left(\frac{1}{\sin ^{2} x}-1\right) d x=\cot x-x+C\)

Hằng đẳng thức lượng giác: 

\(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\)

\(\frac{1}{\sin ^{2} x}=1+\cot ^{2} x\)

\(\frac{1}{\cos ^{2} x}=1+\tan ^{2} x\)

Công thức cộng

 \(\cos (\mathrm{a} \pm \mathrm{b})=\cos \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b} \mp \sin \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b}\)

Công thức nhân đôi

\(\left\{\begin{array}{l}\sin 2 a=2 \sin \mathrm{a} \cos \mathrm{a} \\ \cos 2 \mathrm{a}=\cos ^{2} a-\sin ^{2} a=2 \cos ^{2} a-1=1-2 \sin ^{2} a\end{array}\right.\)

Công thức hạ bậc

 \(\sin ^{2} \mathrm{a}=\frac{1-\cos 2 \mathrm{a}}{2} ; \cos ^{2} \mathrm{a}=\frac{1+\cos 2 \mathrm{a}}{2}\)

Công thức nhân ba

\(\left\{\begin{array}{l}\sin 3 a=3 \sin a-4 \sin ^{3} a \\ \cos 3 a=4 \cos ^{3} a-3 \cos a\end{array}\right.\)

Công thức biến đổi tích thành tổng

\(\cos \mathrm{a} \cdot \cos \mathrm{b}=\frac{1}{2}[\cos (\mathrm{a}+\mathrm{b})+\cos (\mathrm{a}-\mathrm{b})]\)

\(\sin . a \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\)

\(\sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]\)

Tính các nguyên hàm

a) \(I=\int \sin ^{3} x \cdot \cos ^{2} x d x\)

b) \(I=\int \sin ^{3} x \cdot \cos ^{5} x d x\)

c) \(I=\int \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x d x\)

d) \(I=\int \sin ^{4} x d x\)

hướng dẫn giải:

a) \(I=\int \sin ^{3} x \cdot \cos ^{2} x d x=-\int \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x d(\cos x)\)

= \(-\int\left(1-\cos ^{2} x\right) \cos ^{2} x d(\cos x)\)

\(\xrightarrow{\mathrm{t}=\cos \mathrm{x}} \mathrm{I}=\int\left(\mathrm{t}^{2}-1\right) \mathrm{t}^{2} \mathrm{dt}\)

=\(\int\left(t^{4}-t^{2}\right) d t=\frac{t^{5}}{5}-\frac{t^{3}}{3}+C\)

= \(\frac{\cos ^{5} x}{5}-\frac{\cos ^{3} x}{3}+C\)

b. \(I=\int \sin ^{3} x \cdot \cos ^{5} x d x=-\int \sin ^{2} x \cdot \cos ^{5} x d(\cos x)\)

\(=-\int\left(1-\cos ^{2} x\right) \cos ^{5} x d(\cos x)\)

\(\xrightarrow{\mathrm{t}=\cos x} \mathrm{I}=\int\left(\mathrm{t}^{2}-1\right) \mathrm{t}^{5} \mathrm{dt}\)

= \(\int\left(t^{7}-t^{5}\right) d t=\frac{t^{8}}{8}-\frac{t^{6}}{6}+C\)

\(=\frac{\cos ^{8} x}{8}-\frac{\cos ^{6} x}{6}+C\)

c. \(I=\int \sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x d x=\int(\sin x \cdot \cos x)^{2} d x\)

\(=\frac{1}{4} \int(\sin 2 x)^{2} d x\)

\(=\frac{1}{8} \int(1-\cos 4 x) d x=\frac{x}{8}-\frac{\sin 4 x}{32}+C\)

d. \(I=\int \sin ^{4} x d x=\int\left(\sin ^{2} x\right)^{2} d x=\int\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2} d x\)

\(=\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x\right) d x=\frac{1}{4} \int\left(1-2 \cos 2 x+\frac{1+\cos 4 x}{2}\right) d x\)

\(=\frac{1}{8} \int(3-4 \cos 2 x+\cos 4 x) d x=\frac{3 x}{8}-\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{\sin 4 x}{32}+C\)

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH \(\mathrm{PHÂN}\) yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTO giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIÊM SỐ nhanh \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nàodiễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lồi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ \(\mathrm{Al}\) Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các Iỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh 

từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIẼM SỐ mình mơ ước.

NHỮNG Lợ ÍCH MÀ HỆ THỐNG CÁ NHÂN HÓA VIỆC HỌC CỦA EXAMON MANG LẠI

1: Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng Tự học: 1 kỹ năng sẽ sử dụng cho việc phát triển bản thân suốt đời

2: Giúp học sinh hình thành Tư duy giải bài trước khi giải: Đây là kỹ năng giải quyết vấn đề giúp hs tự tin và có chính kiến của riêng mình

3: Công nghệ Al phân tích năng lực học sinh đề xuất hs Luyện tập những chỗ sai rút ngắn thời gian cải thiện điểm số: Hệ thống \(\mathrm{Al}\) bên dưới giúp phát hiện năng lực học sinh một cách chính xác từ đó có kế hoạch cải thiện năng lực nhanh chóng\(x\)