Chọn hệ số điều chỉnh khi tính tích phân từng phần
Làm thế nào để chọn hệ số điều chỉnh sao cho bài toán tính phân không chỉ chính xác mà còn dễ dàng hơn? Để tìm câu trả lời, hãy cùng xem bài viết dưới đây.
Mục lục bài viết
Việc chọn hệ số điều chỉnh khi tính tích phân từng phần là một yếu tố vô cùng quan trọng và cần thiết trong việc xây dựng các phương pháp tính toán tích phân. Qua quá trình nghiên cứu và áp dụng bài tập Examon nhận thấy rằng sự lựa chọn khôn ngoan của hệ số này giúp cho chúng trở nên dễ dàng hơn.
Bài viết này sẽ đi sâu vào tầm quan trọng của việc chọn hệ số điều chỉnh và cách thức áp dụng chúng trong các bài toán cụ thể.
1. Tích phân từng phần
Cho 2 hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a;b]\) .Nếu \(d u=u^{\prime}(x) d x\) và \(d v=v^{\prime}(x) d x\), thì tích phân từng phần phát biểu rằng:
\[\begin{aligned}\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) d x & =[u(x) v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) d x \\& =u(b) v(b)-u(a) v(a)-\int_{a}^{b} u^{\prime}(x) v(x) d x\end{aligned}\]hay gọn hơn công thức tổng quát sau:
\(\int_{a}^{b} u d v=\left.u v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v d u\)
2. Kỹ thuật điều chỉnh hệ số
Công thức tích phân từng phần :
\[\int_{a}^{b} u \mathrm{~d} v=\left.u \cdot v\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v \mathrm{~d} u\]trong đó \(u=f_{1}(x), \mathrm{d} v=f_{2}(x) \mathrm{d} x\).
Suy ra \(v=\int f_{2}(x) \mathrm{d} x\) nên \(v(x)\) xác định không duy nhất, các hàm số \(v(x)\) có thể sai khác một hằng số \(\alpha(\alpha \in \mathbb{R}), v(x)=v_{0}(x)+\alpha\).
Căn cứ vào mỗi bài toán cụ thề ta có cách xá định \(v(x)\) phù hợp sao cho tích phân \(\int_{a}^{b} v \mathrm{~d} u\) là dơn giản, dễ dàng tính được.
Đây chính là kĩ thuật chọn \(v(x)\) thông qua hệ số điều chỉnh \(\alpha\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Tính tích phân
\[I_{}=\int_{0}^{1} x \ln 1+x^{2} \mathrm{~d} x .\]Lời giải
Dùng hệ số điều chỉnh \(\alpha=\frac{1}{2}\), ta có thể giải gọn như sau :
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x^{2}+1\right) \\ \mathrm{d} v=x \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\frac{2 x}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x \\ v=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{x^{2}+1}{2}\end{array}\right.\right.\)
\( \Rightarrow I_{}=\left.\left(\frac{x^{2}+1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x\)
\[=\ln 2-\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0} ^{1}=\ln 2-\frac{1}{2} .\]3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Tính \(I_{}=\int_{1}^{3} \frac{3+\ln x}{x+1^{2}} \mathrm{~d} x\)
Lời giải
Dùng hệ số điều chỉnh \(\alpha=1\), ta có thể giải ngắn gọn như sau :
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2 x^{2}+4 x+1\right) \\ \mathrm{d} v=\frac{1}{x+1^{3}} \mathrm{~d} x\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\frac{4 x+4}{2 x^{2}+4 x+1} \mathrm{~d} x \\ v=\frac{-1}{2(x+1)^{2}}+1=\frac{2 x^{2}+4 x+1}{2 x+1^{2}} .\end{array}\right.\)
Khi đó
\[I_{}=\left.\left(\frac{2 x^{2}+4 x+1}{2 x+1^{2}} \ln \left(2 x^{2}+4 x+1\right)\right)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \frac{2}{x+1} \mathrm{~d} x\]\(\begin{array}{l}=\frac{7}{8} \ln 7-\int_{0}^{1} \frac{2}{x+1} \mathrm{~d} x=\frac{7}{8} \ln 7-2 \ln |x+1|_{0}^{1} \\ =\frac{7}{8} \ln 7-2 \ln 2 \cdot \end{array}\)
3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Tính tích phân : \(I_{}=\int_{0}^{1} \frac{\ln 2 x^{2}+4 x+1}{x+1^{3}} \mathrm{~d} x\).
Lời giải
Sử dụng hệ số điều chỉnh \(\alpha=-1\), ta có lời giải gọn như sau :
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln (\sin x+\cos x) \\ \mathrm{d} v=\frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x\end{array}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x \\ v=-\cot x-1=\frac{-\cos x-\sin x}{\sin x} .\end{array}\right.\)
Ta có
\[I_{}=-(\cot x+1) \ln (\sin x+\cos x) |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\sin x}{\sin x} d x\]\(\begin{array}{l}=2 \ln \sqrt{2}+(\ln |\sin x|-\left.x)\right|_{\frac{\pi}{4}} ^{\frac{\pi}{2}} \\ =2 \ln \sqrt{2}+\left(-\frac{\pi}{2}\right)-\left(\ln \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4}\right) \\ =-\frac{\pi}{4}+3 \ln \sqrt{2} .\end{array}\)
4. Học cùng Examon: Tự tin giải các bài tập tích phân.
Như vậy, việc chọn hệ số điều chỉnh khi tính tích phân từng phần không chỉ là một kỹ thuật quan trọng mà còn là một yếu tố giúp các bài toán tích phân trở nên dễ dàng hơn. Bằng việc hiểu rõ và áp dụng chính xác hệ số này, chúng ta có thể cải thiện đáng kể quá trình tính toán và đảm bảo sự tin cậy của kết quả.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ [CHỦ ĐỀ]
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
