Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại
Bài viết Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại được Examon viết đầy đủ từ A đến Z
Mục lục bài viết
Bài viết Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại bao gồm 4 phần: Kiến thức cần nhớ, Phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện. Với mỗi phần ví dụ và bài tập đều có phương pháp giải và lời giải chi tiết giúp các bạn dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào bài làm của mình.
1. Kiến thức cần nhớ
Để giải bài toán, ta cần nhớ các công thức:
- Công thức nhân đôi
\(\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\)
\(\begin{array}{l}\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha \\ \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha},\left\{\begin{array}{l}\alpha \neq \frac{\pi}{4}+k \frac{\pi}{2} \\ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi\end{array}, k \in \mathbb{Z} .\right.\end{array}\)
- Công thức hạ bậc
\(\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}\).
\(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}\).
\(\tan ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\).
2. Phương pháp giải
- Để làm dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt và dấu của các giá trị lượng giác.
- Các bước làm bài:
- Bước 1: Áp dụng công thức thích hợp để tính giá trị các tỉ số tiếp theo (chú ý các công thức lượng giác cơ bản)
- Bước 2: Ứng với miền đã cho của cung a để xét dấu giá trị lượng giác và chọn kết quả đúng.
- Bước 3: Tính các giá trị lượng giác còn lại
3. Ví dụ minh họa
3.1 Ví dụ 1
Cho \(\sin \alpha=\frac{1}{3}, 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\). Tính \(\cos \alpha, \tan \alpha, \cot \alpha\).
Lời giải chi tiết
ta có
\(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1 \Rightarrow \cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}\)
Do đó: \(\cos \alpha= \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
Vì \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) nên điểm cuối của cung a thuộc góc phân tư thứ I nên \(\cos \alpha\gt 0\)
Vậy \(\cos \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\);
\(\begin{array}{l}\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{4} ; \\ \cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} .\end{array}\)
3.2 Ví dụ 2
Biết \(\sin \alpha=\frac{3}{4}, \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\). Tính giá trị biểu thức sau:
\[\mathrm{A}=\frac{2 \tan \alpha-3 \cot \alpha}{\cos \alpha+\tan \alpha}\]Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha=\frac{7}{16} \Rightarrow \cos \alpha= \pm \frac{\sqrt{7}}{4}\)
Vì \( \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) nên điểm cuối của cung a thuộc góc phần tư thứ II, do đó cos \(\alpha\lt 0\) nên\(\cos \alpha=-\frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(\begin{array}{l}\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-3 \sqrt{7}}{7} \\ \cot \alpha=\frac{1}{\tan \alpha}=\frac{-\sqrt{7}}{3}\end{array}\)
Thay vào:
\[\mathrm{A}=\frac{2 \tan \alpha-3 \cot \alpha}{\cos \alpha+\tan \alpha}=\frac{2 \cdot \frac{-3 \sqrt{7}}{7}-3 \cdot \frac{-\sqrt{7}}{3}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{-3 \sqrt{7}}{7}}=-\frac{4}{19} .\]3.3 Ví dụ 3
Chọn đáp án đúng.Cho \(\cot \alpha=\frac{2}{7}\) và \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\). Giá trị của biểu thức \(\mathrm{A}=\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha\) là:
A. \(\frac{-45}{53}\)
B. \(\frac{45}{53}\)
C. \(\frac{9}{53}\)
D. \(-\frac{9}{53}\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[\sin ^{2} \alpha=\frac{1}{1+\cot ^{2} \alpha}=\frac{49}{53} \Rightarrow \sin \alpha= \pm \frac{7 \sqrt{53}}{53}\]Vì \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \alpha\gt 0, \cos \alpha>0\)
Do đó \(\sin \alpha=\frac{7 \sqrt{53}}{53}\)
Lại có:
\[\cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha=\frac{4}{53} \Rightarrow \cos \alpha=\frac{2 \sqrt{53}}{53}\]Suy ra:
\[\begin{aligned}\mathrm{A} & =\sin ^{2} \alpha-\cos ^{2} \alpha \\& =(\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin \alpha+\cos \alpha) \\& =\left(\frac{7 \sqrt{53}}{53}-\frac{2 \sqrt{53}}{53}\right)\left(\frac{7 \sqrt{53}}{53}+\frac{2 \sqrt{53}}{53}\right)=\frac{45}{53}\end{aligned}\]4. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc a, nếu \(\cos \alpha=\frac{-1}{4}, \pi\lt \alpha\lt \frac{3 \pi}{2}\).
Bài 2. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\mathrm{a}\), nếu \(\cos \alpha=\frac{2}{3}, \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\).
Bài 3. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\mathrm{a}\), nếu \(\tan \alpha=\frac{7}{3}, 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\).
Bài 4. Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), nếu \(\cot \alpha=\frac{-14}{9}, \frac{3 \pi}{2}\lt \alpha\lt 2 \pi\).
Bài 5. Tính các giá trị lượng giác của góc \(2 a\), nếu \(\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{3}{4}, \pi\lt \alpha\lt 2 \pi\).
Bài 6: Tính các giá trị lượng giác của góc \(2 \mathrm{a}\), nếu \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}, 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\).
5. Học tập hiệu quả cùng Examon
Như vậy, Examon đã tổng hợp song tất cả các kiến thức có liên quan đến cách tính các góc lượng giác bằng công thức lượng giác ở trong bài viết này. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được hết các bài tập ở trên thì các bạn đã nắm được 90% kiến thức của bài. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%
Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.