Cấp Số Nhân trong bài toán thực tế

\(u_{n}\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}=u_{n} . q\), với \(n \in \mathbb{N}^{*}\) 

Công bội \(q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\).

Số hạng tổng quát : 

\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1},(n \geq 2)\)

\(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\) hay \(\left|u_{k}\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}\), với \(k \geq 2\)

\(S_{n}=\frac{u_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q},(q \neq 1)\).

Tìm tổng số nucleotit môi trường cung cấp cho quá trình nhân đôi ADN (Gen).

- Gen nhân đôi một lần :

- Gen nhân đôi k lần : 

\(\begin{array}{l}\mathrm{N}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{N} \cdot\left(2^{\mathrm{k}}-1\right) \\ \mathrm{A}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{T}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{T}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)=\mathrm{A}\left(2^{\mathrm{k}}-1)\right. \\ \mathrm{G}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{X}_{\mathrm{mt}}=\mathrm{G}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)=\mathrm{X}\left(2^{\mathrm{k}}-1)\right.\end{array}\)

Tính tổng số liên kết H hình thành và phá vỡ trong quá trình nhân đôi ADN (Gen)

- Tổng số liên kết H bị phá vỡ trong quá trình nhân đôi \(\mathrm{k}\) lần :\(\mathrm{H}\left(1+2^{1}+2^{2}+\ldots+2^{\mathrm{k}-1}\right)=\) \(\mathrm{H}\left(2^{\mathrm{k}}-1\right)\)

- Tổng số liên kết \(\mathrm{H}\) được hình thành trong quá trình nhân đôi \(\mathrm{k}\) lần :

Ví dụ 1: Một tế bào của một quần thể trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi một tế bào sau tám lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?

Lời giải

Ta có cấp số nhân có \(u_{1}=1\) và \(q=2\)

Số tế bào nhận được sau tám lần phân chia là:

\(u_{9}=u_{1} \cdot q^{8}=1 \cdot 2^{8}=256.\)

Ví dụ 2: Một gen có chiều dài \(5270 \mathrm{~A}^{0}\). Gen nhân đôi 4 lần thì số nucleotit cung cấp cho quá trình nhân đôi của gen đó là bao nhiêu?

Lời giải 

Số nucleotit trong gen đó là:

Số nucleotit môi trường cung cấp cho quá trình nhân đôi là:

Giả sử bạn có một khoản tiền A đồng gửi vào một ngân hàng nào đó với lãi suất cố định là \(r\) trong một năm. 

Sau một năm bạn sẽ có cả gốc lẫn lãi là :

\(B_{1}=A+(\) tiền lãi \()=A+r \cdot A=A \cdot(1+r)\). 

Cứ sau mỗi năm số tiền của bạn sẽ được nhận thêm bội số \((1+r)\). 

Như vậy số tiền sau mỗi năm mà bạn có lập thành một cấp số nhân với \(q=1+r\).

Gọi \(B_{n}\) là số tiền bạn có sau n năm thì: \(B_{n}=A(1+r)^{n}\)

Ví dụ : Bác A đem \(100\) triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ hạn 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là \(0,7 \%\) số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, bác A được lĩnh về bao nhiêu tiền?

Lời giải:

Số tiền ban đầu là \(\mathrm{A}_{0}=10^{8}\) (đồng)

Đặt \(r=0,7 \%=0,007\)

Số tiền sau tháng thứ nhất là \(A_{1}=A_{0}+A_{0} r=A_{0}(1+r)\)

Số tiền sau tháng thứ hai là \(A_{2}=A_{1}+A_{1} r=A_{0}(1+r)^{2}\)

Vậy ta có số tiền sau tháng thứ sáu là \(A_{6}=A_{0}(1+r)^{6}\)

Do đó \(A_{6}=10^{8}(1,007)^{6}\)

Trong chăn nuôi, thông thường người ta cần giải quyết hai bài toán sau:

+ Tính số lượng gia súc sau mỗi kỳ chăn nuôi từ tỉ lệ tăng đàn từng kỳ và số gia súc ban đầu .

+ Tính số gia súc đầu kỳ các năm về trước nếu biết số lượng đàn gia súc và tỉ lệ tăng đàn hàng năm.

Gọi \(u_{0}\) là tổng số gia súc thống kê ban đầu; \(q\) là tî lệ tăng hàng năm và \(u_{n}\) là tổng số đàn gia súc sau \(n\) năm phát triển \(\left(n \in N^{*}\right)\)

Ta có :

Số gia súc sau một năm phát triển là : \(u_{1}=u_{0}+u_{0} \cdot q=u_{0}(1+q)\)

Số gia súc sau hai năm phát triển là : 

\(u_{2}=u_{1}+u_{1} \cdot q=u_{1}(1+q)=u_{0}(1+q)^{2}\)

Số gia súc sau ba năm phát triển là : 

\(u_{3}=u_{2}+u_{2} \cdot q=u_{2}(1+q)=u_{0}(1+q)^{3}\)

Như vậy, tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân với công bội \(1+q\) và \(u_{1}=u_{0}(1+q)\)

Ví dụ: Kết quả kiểm kê vào cuối năm \(2017\), cho biết số đàn bò ở huyện B là 580 con và mấy năm qua tỉ lệ tăng đạt \(12 \%\) mỗi năm. Hãy tính xem vào đầu năm 2015 (cách đó ba năm về trước) đàn bò ở đây là bao nhiêu con?

Lời giải

Tổng số đàn gia súc sau mỗi năm phát triển lập thành cấp số nhân.

Ta có công thức \(u_{n}=u_{0}(1+q)^{n} \Rightarrow u_{0}=\frac{u_{n}}{(1+q)^{n}}\)

Mà \(q=0,12\) và \(u_{3}=580\) nên \(u_{0}=\frac{u_{3}}{(1+q)^{3}}=\frac{580}{(1+0,12)^{3}} \approx 413\) (con)

Gọi \(u_{0}\) là dân số năm thống kê

\(q\) là tỉ lệ tăng hàng năm

\(u_{n}\) là tổng số dân sau \(\mathrm{n}\) năm \(\left(n \in N^{*}\right)\)

Ta có :

Tổng số dân sau một năm là : \(u_{1}=u_{0}+u_{0} \cdot q=u_{0}(1+q)\)

Tổng số dân sau hai năm là : \(u_{2}=u_{1}+u_{1} \cdot q=u_{1}(1+q)=u_{0}(1+q)^{2}\)

Tổng số dân sau ba năm là: \(u_{3}=u_{2}+u_{2} \cdot q=u_{2}(1+q)=u_{0}(1+q)^{3}\)

Như vậy, tổng số dân sau mỗi năm lập thành cấp số nhân với công bội \(1+q\) và \(u_{1}=u_{0}(1+q)\)

Tổng số dân sau \(n\) năm là : 

\(u_{n}=u_{1}(1+q)^{n-1}=u_{0}(1+q)(1+q)^{n-1}=u_{0}(1+q)^{n}\) 

Vậy \(u_{n}=u_{0}(1+q)^{n}\)

Ví dụ : Tỉ lệ giảm dân số hàng năm của nước B là \(0,5 \%\). Năm 1998 dân số nước B là \(146.861 .000\) người. Hỏi đến năm \(2010\) dân số nước này là bao nhiêu?

Lời giải:

Dân số của nước B năm 2010 là: