Cấp Số Nhân qua các dạng bài tập
Cùng Examon xem qua bài viết dưới đây nhé !
Mục lục bài viết
Trong toán học, cấp số nhân là một dạng toán quan trọng mà chắc chắn đã quen thuộc với các bạn học sinh lớp 11. Bài viết này sẽ giới thiệu với bạn đọc về các dạng toán điển hình của cấp số nhân, từ những khái niệm cơ bản như cấp số nhân, công bội là gì?, công thức tính tổng các số hạng cấp số nhân, đến việc áp dụng chúng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống. Hãy cùng Examon khám phá và tìm hiểu về dạng toán cấp số nhân qua bài viết dưới đây.
1. Dạng 1: Nhận diện cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân
1.1. Phương pháp chung
Để nhận diện (chứng minh) mỗi dãy số là cấp số nhân, ta làm như sau:
Sử dụng định nghĩa chứng minh \(u_{n+1}=u_{n} q, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\) và \(q\) là một số không đổi.
Nếu \(u_{n} \neq 0, \forall n \in \mathrm{N}^{*}\) thì ta lập tỉ số \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=k\).
- Nếu \(k\) là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q=k\).
- Nếu \(k\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left(u_{n}\right)\) không phải là cấp số nhân.
Để chứng minh dãy \(\left(u_{n}\right)\) không phải là một cấp số nhân. Ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không tạo thành một cấp số nhân, chẳng hạn \(\frac{u_{3}}{u_{2}} \neq \frac{u_{2}}{u_{1}}\).
Để chứng minh ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập dược một cấp số nhân, thì ta chứng minh \(a c=b^{2}\) hoặc \(|b|=\sqrt{a c}\).
1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các dāy số hữu hạn sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?
\(2 ;-6 ; 18 ; 54\).
Lời giải:
Ta có :
\[\frac{-6}{2}=-3, \frac{18}{-6}=-3, \frac{54}{18}=3 \neq-3 \text {. }\]Vậy dāy số đã cho không là cấp số nhân.
Ví dụ 2: Dāy số \(2 ; 2 ; 2 ;2 ; \ldots\) có phải là một cấp số nhân hay không?
Lời giải:
Dễ thấy \(\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\ldots=2\) là một số không đổi.
Do đó dāy số \(2;2;2;2 ; \ldots\) là một cấp số nhân.
Ví dụ 3: Dāy số sau có là cấp số nhân không ?
\(u_{n}=(-1)^{n+1} \cdot3^{n}\).
Lời giải:
Ta có \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(-1)^{n+2} \cdot 3^{n+1}}{(-1)^{n+3} \cdot 3^{n}}=-3\).
Dãy này là cấp số nhân với công bội \(q=-3\).
2. Dạng 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân
2.1. Phương pháp chung
Nếu cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) dược xác định bởi công thức
\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1} \text { với } n \geq 2 \text {. }\)
Dựa vào giả thuyết bài toán, ta lập một hệ phương trình chứa công bội \(q\) và số hạng dầu \(u_{n}\). Giải hệ phương trình này tìm dược \(u_{1}\) và \(q\).
2.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm công thức tổng quát của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\), biết \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144 \text {. }\end{array}\right.\)
Lời giải:
Theo bài ra, ta có:
\(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q^{3}-u_{1} \cdot q=72 \\ u_{1} \cdot q^{4}-u_{1} \cdot q^{2}=144\end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q\left(q^{2}-1\right)=72 \\ u_{1} \cdot q^{2}\left(q^{2}-1\right)=144\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}q=\frac{144}{72}=2 \\ u_{1}=12\end{array}\right.\right.\)
Vậy \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}=12 \cdot 2^{n-1}=6 \cdot 2^{n}\).
Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy số \(2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots\), biết dãy \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân.
Lời giải:
Vì dāy số \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân nên \(q=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{u_{3}}{u_{2}}=\ldots=2\) và số hạng đầu \(u_{1}=2\).
Do đó dāy số \(2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; \ldots\) là một cấp số nhân có số hạng tổng quát là
\(u_{n}=u_{1} q^{n-1}=2 \cdot 2^{n-1}\).
3. Dạng 3: Tìm số hạng thứ k của cấp số nhân
3.1. Phương pháp giải
Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) chuyển các số hạng của cấp số nhân về số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\).
Chia hai phương trình vế theo vế ta thu được phương trình theo \(q\).
Giải phương trình tìm \(q\) và \(u_{1}\).
Từ đó tìm được số hạng cần tìm thỏa ycbt.
3.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=2\), công bội \(q=-2\). Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.
Lời giải:
Năm số hạng đầu của cấp số nhân là
\[\begin{array}{l}u_{1}=2 ; \\u_{2}=u_{1} \cdot q=2 \cdot(-2)=-4 ; \\u_{3}=u_{2} \cdot q=(-4) \cdot(-2)=8 ; \\u_{4}=u_{3} \cdot q=8 \cdot(-2)=-16 ;\end{array}\]\(u_{5}=u_{4} \cdot q=(-16) \cdot(-2)=32\).
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với số hạng đầu \(u_{1}=2\), công bội \(q=-\frac{1}{2}\). Tính \(u_{5}\).
Lời giải:
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có
\[u_{5}=u_{1} \cdot q^{5-1}=2\cdot\left(\frac{-1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{8} .\]4. Dạng 4: Tìm điều kiện để 1 dãy số là một cấp số nhân
4.1. Phương pháp chung
Dāy số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân khi \(b^{2}=a \cdot c\).
Dāy số \(a, b, c, d\) lập thành cấp số nhân khi \(\left\{\begin{array}{l}b^{2}=a \cdot c \\ c^{2}=b \cdot d .\end{array}\right.\)
4.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy \(2, x, 8, y\). Tìm \(x, y\) để dãy là cấp số nhân.
Lời giải:
Dāy là cấp số nhân khi \(\left\{\begin{array}{l}x^{2}=2 \cdot 8 \\ 8^{2}=x \cdot y\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4 \\ y=16\end{array}\right.\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\ y=-16 .\end{array}\right.\)
Ví dụ 2: Các số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \(x-1\), \(y+2, x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính \(x^{2}+y^{2}\).
Lời giải.
Theo giả thiết ta có :
\(\left\{\begin{array}{l}(x+6 y)+(8 x+y)=2(5 x+2 y) \\ (x-1)(x-3 y)=(y+2)^{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 y \\ (3 y-1)(3 y-3 y)=(y+2)^{2}\end{array}\right.\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=3 y \\ 0=(y+2)^{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-6 \\ y=-2\end{array}\right.\right.\)
Vậy \(x^{2}+y^{2}=40\).
5. Dạng 5: Tìm tổng các số hạng của cấp số nhân
5.1. Phương pháp giải
Xác định số hạng đầu \(u_{1}\), công bội \(q\).
Áp dụng công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân :
\(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{u}_{1}\left(1-\mathrm{q}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{q}}\) ,\((q \neq 1)\)
5.2. Phương pháp giải
Ví dụ 1: Tính tổng 7 số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\), biết \(u_{1}=2\) và \(u_{2}=4\).
Lời giải:
Ta có: \(u_{2}=u_{1} . q \Leftrightarrow 4=2 . q \Leftrightarrow q=2\)
\[S_{8}=u_{1} \frac{1-q^{7}}{1-q}=2 \cdot \frac{1-2^{7}}{1-2}=254.\]Ví dụ 2: Tính tổng \(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{9}}\).
Lời giải:
Ta có \(S\) là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}=1\) và công bội \(q=\frac{1}{2}\) nên
\[S=\frac{1 \cdot\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1023}{512} .\]6. Dạng 6: Ví dụ thực tế về cấp số nhân
Ví dụ 1: Tế bào E.Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hơi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Lời giải:
Lần phân chia thứ nhất, 1 tế bào thành 2 tế bào, số tế bào lần 1 phân chia là \(u_{1}=2\).
Lần phân chia thứ hai 2 , số tế bào lần 2 phân chia là \(u_{2}=2 \cdot 2=u_{1} \cdot 2\).
Lần phân chia thứ 3 có 4 tế bào phân chia, số tế bào lần 3 phân chia là \(u_{3}=2 \cdot u_{2}\).
Như vậy một tế bào phân đôi sẽ tạo thành cấp số nhân có công bội là 2 , số hạng đầu là \(u_{1}=2\).
Sau \(n\) lần phân chia từ một tế bào phân dược thành \(u_{n}=2^{n-1} u_{1}\).
Đổi 24 giờ \(=24 \cdot 60=72 \cdot 20\) (phút) \(\Rightarrow 24\) giờ gấp 72 lần 20 phút.
Do đó, sau 24 giờ số tế bào nhận được là \(u_{72}=2^{71} \cdot 2=2^{72}\) (tế bào).
Ví dụ 2: Giả sử anh Hoàng kí hợp đồng lao động trong 10 năm với điều khoản về tiền lương như sau: Năm thứ nhất, tiền lương của anh Hoàng là 60 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương của anh Hoàng được tăng lên \(8 \%\). Tính tổng số tiền lương anh Hoàng lĩnh được trong 10 năm đi làm (đơn vị: triệu đồng, làm tròn đến hàng phần nghìn).
Lời giải:
Gọi \(u_{n}\) là số tiền lương (triệu đồng) anh Hoàng được līnh ở năm làm việc thứ \(n\).
Ta có: \(u_{1}=60\);
\[u_{n}=u_{n-1}+u_{n-1} \cdot 0,08=u_{n-1} \cdot(1+0,08)=u_{n-1} \cdot 1,08 .\]Do đó, \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}=60\), công bội \(q=1,08\).
Áp dụng công thức tính tổng \(S_{n}\), ta có tổng số tiền lương anh Hoàng līnh được trong 10 năm đi làm là
\[S_{10}=\frac{60 \cdot\left(1-1,08^{10}\right)}{1-1,08} \approx 869,194 \text { (triệu người). }\]7. Lời khuyên luyện đề hiệu quả
Trên đây là những phương pháp giải và ví dụ minh họa các dạng bài toán cấp số nhân. Chúng ta đã tìm hiểu và áp dụng các phương pháp giải cho các bài toán khác nhau từ cơ bản đến nâng cao. Việc nắm vững các kiến thức và kỹ năng này sẽ giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các bài toán cấp số nhân một cách nhanh chóng và chính xác.
Hy vọng rằng qua bài viết này, mọi người đã hiểu rõ hơn về cấp số nhân và cách giải các bài tập cấp số nhân. Hãy ôn tập và luyện tập thường xuyên để phát triển khả năng giải toán của mình. Chúc các bạn thành công trong việc học tập và rèn luyện kỹ năng để giải các bài tập 1 cách hiệu quả!
Ôn tập các dạng bài tập là quan trọng nhưng bên cạnh đó việc biết áp dụng chúng để giải bài thi là vô cùng quan trọng. Nhưng có rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!