CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

1. Cấp số nhân là gì ?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\).

Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu (\(u_n\)) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi:

\[u_{n+1}=u_{n} q \text { với } n \in N^{*}\]

2. Cấp số nhân lùi vô hạn và các ví dụ minh họa

2.1. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì ?

Dựa vào định nghĩa cấp số nhân ta khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn như sau:

Cấp số nhân lùi vô hạn là một cấp số nhân mà có công bội q với \(|q|\lt 1\).

2.2. Ví dụ cấp số nhân lùi vô hạn

Các dãy số sau đều là ví dụ của cấp số nhân lùi vô hạn:

a, \(1 ; \frac{1}{4} ; \frac{1}{4^{2}} ; \ldots ; \frac{1}{4^{n-1}} ; \ldots\)

b, \(3 ;-1 ; \frac{1}{3} ;-\frac{1}{3^{2}} ; \ldots ;(-1)^{n-1} \frac{1}{3^{n-2}} ; \ldots\)

c, \(\frac{1}{3} ; \frac{1}{9} ; \frac{1}{27} ; \frac{1}{81} ; \ldots\)

3. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn và các ví dụ minh họa

3.1. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là một giá trị hữu hạn và hoàn toàn có thể tính được.

Giả sử ta có cấp số nhân lùi vô hạn \(U_{n}\).

Khi đó tổng của các số hạng thuộc \(U_{n}\) là:

\[\begin{array}{l}S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots+u_{n-1}+u_{n} \\\Rightarrow S_{n}=u_{1} \frac{1-q^{n}}{1-q}\end{array}\]

Giới hạn hai vế ta sẽ được:

\[S=\frac{u_{1}}{1-q}\]

Đây cũng chính là công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn

3.2. Ví dụ tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 1: Tính tổng

\[S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\ldots\]

Lời giải.

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_{1}=1 ; q=-\frac{1}{3}\) nên

\[S=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4} \text {. }\]

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu là 4, công bội là \(\frac{1}{2}\). Hãy tính tổng tất cả các số hạng thuộc cấp số nhân đó.

Lời giải.

Áp dụng công thức ta tính được tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó là:

\[S=\frac{4}{1-\frac{1}{2}}=8\]

4. Áp dụng biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(4,(2)\) dưới dạng phân số.

Lời giải:

Ta có:

\[4,(2)=4+\frac{2}{10}+\frac{2}{10^{2}}+\frac{2}{10^{3}}+\ldots\]

Áp dụng công thức của CSN lùi vô hạn ta có:

\[4,(2)=4+\frac{2}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{38}{9}\]

Ví dụ 2: Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,777 \ldots\) dưới dạng phân số.

Lời giải:

Ta có

\[\begin{array}{c}0,777 \ldots=0,7+0,07+0,007+\ldots \\=\frac{7}{10}+\frac{7}{10^{2}}+\frac{7}{10^{3}}+\ldots=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9} .\end{array}\]

5. Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau:

\[\frac{1}{2},-\frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots, \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}}, \ldots\]

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có

\(u_{1}=\frac{1}{2}, q=\frac{-1}{2}\) nên tổng là \(S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\)

Bài 2: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là \(\frac{5}{3}\), tổng ba số hạng đầu tiên của nó là \(\frac{39}{25}\). Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

Lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}S=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{5}{3} \\u_{1}+u_{2}+u_{3}=u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=\frac{39}{25} \\\Rightarrow \frac{u_{1}}{1-q}\left(1-q^{3}\right)=\frac{39}{25}\end{array}\]

Thay (1) vào (2) ta được :

\(\frac{5}{3}\left(1-q^{3}\right)=\frac{39}{25} \Leftrightarrow 1-q^{3}=\frac{117}{125} \Leftrightarrow q^{3}=\frac{8}{125} \Rightarrow q=\frac{2}{5}\)

Từ (1) suy ra \(u_{1}=\frac{5}{3}(1-q)=\frac{5}{3}\left(1-\frac{2}{5}\right)=1\).

Vậy \(u_{1}=1, q=\frac{2}{5}\)

6. Phương pháp học hiệu quả

Bài viết trên Examon cung cấp cho bạn đầy đủ lý thuyết, công thức và các bài tập minh họa về cấp số nhân lùi vô hạn. Hy vọng bài viết giúp các bạn trả lời được câu hỏi cấp số nhân lùi vô hạn là gì?Công thức tính cấp số nhân lùi vô hạn như thế nào? và có thể áp dụng chúng vào việc giải bài tập.

Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Bên cạnh việc giải các bài tập thì mỗi học sinh cần phải luyện tập thông qua các đề thi là vô cùng quan trọng. Nhưng liệu rằng đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!