CẤP SỐ NHÂN - Các dạng toán điển hình

• Phương pháp giải :

Với bài toán: Cho ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất \(K\), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Từ giả thiết \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân, ta được: \(a c=b^{2}\).

Bước 2. Chứng minh tính chất \(K\).

• Ví dụ 1 : Cho ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)\) \(=(a b+b c)^{2}\)

Lời giải : 

Từ giả thiết \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân, ta được: \(a c=b^{2}\).

Khi đó: \(\quad\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{4}+b^{2} c^{2} \quad=a^{2} b^{2}+a c b^{2}+a c b^{2}+b^{2} c^{2}\) 

\(=a^{2} b^{2}+2 a b^{2} c+b^{2} c^{2}=(a b+b c)^{2}\).

Vậy: \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=(a b+b c)^{2}\).

• Ví dụ 2 : Cho \(a, b, c\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh : \((a+b+c) \cdot(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}\)

Lời giải:

Ta có \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) và \(\mathrm{c}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: \(\mathrm{b}^{2}=\mathrm{ac}\)

Xét:

• Phương pháp giải : 

Để chứng minh ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: \(a c=b^{2}\).

• Ví dụ 1 : Cho ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân.

Lời giải : 

Từ giả thiết ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng, ta được: 

\(\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}=\frac{2}{b} \Leftrightarrow b(b-c+b-a)\) \(=(b-a)(b-c) \Leftrightarrow b^{2}=a c\).

Vậy: ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân.

• Ví dụ 2 : Chứng minh rằng các số:  \(2, 3, 5\) không thể cùng thuộc một cấp số nhân.

Lời giải:

Giả sử \(2,3,5\) là ba số hạng thứ \(m, n, p\) của \(\operatorname{CSN}\left(v_{n}\right)\) có công bội \(q\).

Ta có: \(\frac{2}{3}=\frac{u_{m}}{u_{n}}=q^{m-n} ; \frac{5}{3}=q^{p-n}\), suy ra \(\left(\frac{2}{3}\right)^{p-n}=\left(\frac{5}{3}\right)^{m-n}=p^{(p-n)(m-n)}\). 

\(\Rightarrow 2^{p-n} \cdot 3^{m-p} \cdot 5^{n-m}=1\) vô lí.

• Phương pháp giải :

Để ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, điều kiện là: \(a c=b^{2}\), bài toán được chuyển về việc giải phương trình.

Để bốn số \(a, b, c, d\) lập thành cấp số nhân, điều kiện là: \(\left\{\begin{array}{l}a c=b^{2} \\ b d=c^{2}\end{array}\right.\), bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

• Ví dụ : Tìm \(x\) để ba số \(x-2, x-4, x+2\) lập thành một cấp số nhân.

Lời giải :

Để ba số \(x-2, x-4, x+2\) lập thành một cấp số nhân, điều kiện là: 

\((x-4)^{2}=(x-2)(x+2) \Leftrightarrow 8 x=20\) \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\).

Vậy: \(x=\frac{5}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

• Phương pháp giải : 

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \(u_{1}\), giải hệ phương trình này tìm được \(\mathrm{q}\) và \(u_{1}\).

Để xác định số hạng thứ \(\mathrm{k}\), ta sử dụng công thức: \(u_{k}=u_{1} \cdot q^{k-1}\).

• Ví dụ : Tìm số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) của các cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết: \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144\end{array}\right.\)

Ta biến đổi: 

\(\left\{\begin{array}{l}u_{1} q^{3}-u_{1} q=72 \\ u_{1} q^{4}-u_{1} q^{2}=144\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q\left(q^{2}-1\right)=72 \\ u_{1} q^{2}\left(q^{2}-1\right)=144\end{array} \Rightarrow q=\frac{144}{72}=2 \Rightarrow u_{1}=12\right.\right.\).

Vậy: cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=12\) và \(q=2\).

• Phương pháp giải : 

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q \neq 1\) thì tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) được tính theo công thức: \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).

• Ví dụ : Tính các tổng sau:a. \(S=2+6+18+\ldots+13122\).

Lời giải : 

Xét cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=2\) và công bội \(q=3\), ta có:

Suy ra: \(S=S_{9}=u_{1} \frac{q^{9}-1}{q-1}=2 \frac{3^{9}-1}{3-1}=19682\).

Bài viết trên, Examon đã cung cấp cho bạn các dạng toán điển hình của cấp số nhân và cách giải chúng. Mong rằng bài viết giúp ích một phần nào đó trong quá trình tìm hiểu về bài tập cấp số nhân. 

Nếu bạn cảm thấy khó khăn việc luyện đề thì hãy để Examon giúp đỡ bạn trong việc giải quyết vấn đề đó nhé.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

• Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
• Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
• Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
• Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
• Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!