Cấp Số Nhân - Bài tập và phương pháp giải

Cách 1. Chứng minh \(u_{n+1}=u_{n} \cdot q(\forall n \geq 1)\) trong đó \(q\) là một số không đổi.

Cách 2. Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(n \in N^{*}\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

•  \(T\) là hằng số thì \(u_{n} \neq 0\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\).
•  \(T\) phụ thuộc vào \(n\) thì \(\left(u_{n}\right)\) không là cấp số nhân.

Ví dụ : Cho dãy số sau, dãy số đó có là cấp số nhân hay không ? 

1; - 3; 6; -12; 24; - 48; 96

Lời giải 

Ta thấy \(\frac{-3}{1}=\frac{6}{-3}=\frac{-12}{6}=\frac{24}{-12}=\frac{-48}{24}=\frac{96}{-48}=-2\)

Nên dãy số trên là cấp số nhân .

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội \(q\) và số hạng đầu \(u_{1}\), giải hệ phương trình này tìm được \(q\) và \(u_{1}\).

Để xác định số hạng thứ \(k\), ta sử dụng công thức: \(u_{k}=u_{1} \cdot q^{k-1}\).

Để tính tổng của \(n\) số hạng , ta sử dụng công thức: \(S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}, q \neq 1\).

Nếu \(q=1\) thì \(u_{1}=u_{2}=u_{3}=\ldots=\mathbf{u}_{n}\), do đó \(S_{n}=m u_{1}\).

Ví dụ : Tìm tổng \(10\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân, biết \(\left \lbrace \begin{matrix} u_{1} + u_{5} = 51 \\ u_{2} + u_{6} = 102 \end{matrix} \right .\)

Lời giải 

Khi đó \(\mathrm{S}_{10}=u_{1} \frac{1-q^{10}}{1-q}=3 \cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=3069\).

Gọi \(u_{1}, u_{1} q, u_{1} q^{2} \ldots\). là cấp số nhân cần tìm hoặc \(a, b, c \ldots\) là cấp số nhân cần tìm.

Dựa vào tính chất \(b^{2}=a . c\) để thiết lập phương trình.

Ví dụ : Tìm giá trị \(x\) để ba số \(x-1, x-4, x+1\) lập thành một cấp số nhân.

Lời giải

Để ba số \(x-1, x-4, x+1\) lập thành một cấp số nhân điều kiện là: 

\((x-4)^{2}=(x-1)(x+1) \Leftrightarrow -8 x + 16= - 1\) \(\Leftrightarrow x=\frac{17}{8}\)

Vậy: \(x=\frac{5}{2}\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Tìm số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\).

Áp dụng công thức tổng \(S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}(q \neq 1)\)

Đặc biệt : Đối với dãy số \(S=x+xx+xxx+\ldots+xx \ldots x\) ta làm như sau:

Nếu \(x=10\) thì áp dụng trực tiếp \(S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}(q \neq 1)\) với \(u_{1}=10, q=10\) 

Nếu \(x \neq 10(a=1,2 \ldots 9,11)\) thì ta tách về số 10 bằng cách

Ví dụ : Tính tổng sau \(A_{n}=\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+\ldots+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\)

Lời giải 

\(\begin{array}{l}A_{n}=2^{2}+\frac{1}{2^{2}}+2+2^{4}+\frac{1}{2^{4}}+2+\ldots+2^{2 n}+\frac{1}{2^{2 n}}+2 \\ =\left(2^{2}+2^{4}+\ldots+2^{2 n}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{4}}+\ldots+\frac{1}{2^{2 n}}\right)+2 n \\ =4 \cdot \frac{1-4^{n}}{1-4}+\frac{1}{4} \frac{1-\frac{1}{4^{n}}}{1-\frac{1}{4}}+2 n \\ =\frac{4^{n}-1}{3}\left(4-\frac{1}{4^{n}}\right)+2 n .\end{array}\)