CẤP SỐ NHÂN: Bài tập nâng cao

Tìm \(a, b\) biết rằng \(1, a, b\) là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và \(1 ; a^{2} ; b^{2}\) là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân .Tính a+ b?

A. \(-4-3 \sqrt{2}\).

B. \(-4+3 \sqrt{2}\).

C. 2

D. Cả A, B, C đúng

Lời giải

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l} 1+b=2 a \\ 1 . b^{2}=a^{4}\end{array}\right.\)

Từ (2) suy ra: \(b= \pm a^{2}\)* Với \(b=a^{2}\) thay vào (1) được :\(1+a^{2}=2 a \Leftrightarrow a^{2}-2 a+1=0\)\(\Leftrightarrow a=1 \Rightarrow b=1\) và \(\mathrm{a}+\mathrm{b}=2\).

*Với \(b=-a^{2}\) thay vào (1) được:

\(1-a^{2}=2 a \Leftrightarrow a^{2}+2 a-1=0\)

\(\Leftrightarrow a=-1+\sqrt{2}\) hoặc \(a=-1-\sqrt{2}\)

+ Nếu \(a=-1+\sqrt{2} \Rightarrow b=-(-1+\sqrt{2})^{2} \Leftrightarrow b=-3+2 \sqrt{2}\)

Khi đó: \(a+b=-4+3 \sqrt{2}\)

+ Nếu \(a=-1-\sqrt{2} \Rightarrow b=-(-1-\sqrt{2})^{2} \Leftrightarrow b=-3-2 \sqrt{2}\)

Khi đó; \(a+b=-4-3 \sqrt{2}\)

Chọn D.

 oehhhTCho bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35 , còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560 . Tìm số hạng thứ 4 ?

A. \(\frac{-1140}{3}\) hoặc 1268 .

B. \(\frac{-560}{3}\) hoặc 648 .

C. \(\frac{-1240}{7}\) hoặc -228 .

D. \(\frac{-2240}{3}\) hoặc -448 .

Lời giải

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u_{1}-u_{2}=35 \\ u_{3}-u_{4}=560\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1}-u_{1} \cdot q=35 \\ u_{1} \cdot q^{2}-u_{1} \cdot q^{3}=560\end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1}(1-q)=35 \\ u_{1} q^{2}(1-q)=560\end{array}\right.\end{array}\)

Thay (1) vào (2) ta được:

* Với \(q=4\) thay vào (1) được

* Với \(q=-4\) thay vào (1) ta được :

Vậy số hạng thứ tư của cấp số nhân là: \(\frac{-2240}{3}\) hoặc -448 .

Chọn D.

Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số hạng sau thành lập cấp số nhân. Biết rằng tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37 , tổng của hai số hạng giữa là 36 . Tìm số hạng thứ tư.

A. 75

B. 95

C. 70

D. 60

Lời giải

Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: a, b, c, d.* Theo đề bài có a, b, c là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

* Ba số hạng b, c, d là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân.

* Theo giả thiết ta có hệ phương trình:* Từ (4) có: \(b=36-c\) thay vào (1) được:\(a+c=72-2 c \Leftrightarrow a=72-3 c\), thay a vào (3) được:

* Thay b, d vào (2) được:

\(\begin{array}{l}(36-c) \cdot(-35+3 c)=c^{2} \\ \Leftrightarrow 4 c^{2}-143 c+1260=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c=20 \\ c=\frac{63}{4}\end{array}\right.\end{array}\)

Với \(c=20=\gt b=16, a=12, d=95\).

Với \(c=\frac{63}{4} \Rightarrow b=\frac{81}{4}, a=\frac{99}{4}, d=\frac{49}{4}\) ( loại- vì bốn số đó là các số nguyên dương)

Chọn \(\mathrm{B}\).

Tính các cạnh của 1 hình hộp chữ nhật; biết thể tích của nó là \(\mathrm{a}^{3}\); diện tích toàn phần là \(6 a^{2}\) và 3 cạnh lập thành cấp số nhân?

A. \(\frac{a}{2} ; a, 2 a\)

B. \(\frac{\mathrm{a}}{4} ; \mathrm{a} ; 4 \mathrm{a}\)

C. \(\frac{a}{3} ; a ; 3 a\)

D. \(a ; a ; a\)

Cho dãy số ( \(\left.u_{n}\right)\) thỏa mãn \(u_{n+1}=3 u_{n}+\frac{4}{3}\). Giá trị nhỏ nhất của n để \(u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\gt 5^{100}-\frac{2}{3} n\) là

A. 141

B. 142

C. 145

D. 146

Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=2 u_{n}+5\end{array}\right.\).Tính số hạng thứ 2018 của dãy.

A. \(u_{2018}=3.2^{2018}+5\)

B. \(u_{2018}=3.2^{2017}+1\)

C. \(u_{2018}=6.2^{2018}-5\)

D. \(u_{2018}=6.2^{2018}-5\)