Cấp số nhân

1. Định nghĩa

1.1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ một số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số hạng không đổi q.

1.2. Công bội q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân (\(u_{n}\)) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

\(u_{n}\) = \(u_{n-1}\).q (n\(\geq\)2)

1.3. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}=5\) và công bội \(q=-2\). Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:

\[\begin{array}{l}u_{1}=5, u_{2}=u_{1} \cdot q=5 \cdot(-2)=-10, u_{3}=u_{2} \cdot q=(-10) \cdot(-2)=20, \\u_{4}=u_{3} \cdot q=20 \cdot(-2)=-40, u_{5}=u_{4} \cdot q=(-40) \cdot(-2)=80 .\end{array}\]

Ví dụ 2. Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{n}=\frac{1}{3^{n-1}}\). Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Giải

Với mọi \(n \geq 2\), ta có\(\frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{1}{3^{n-1}} \cdot \frac{3^{n-2}}{1}=\frac{1}{3}\), tức là \(u_{n}=\frac{1}{3} \cdot u_{n-1}\) với mọi \(n \geq 2\).

Vậy \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \(u_{1}=\frac{1}{3^{0}}=1\) và công bội \(q=\frac{1}{3}\).

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) của nó được xác định bởi công thức \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1} ; n \geq 2\).

Ví dụ 3. Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân: \(8,-4, \ldots\)

Giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu \(u_{1}=8\) và công bội \(q=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}\).

Do đó năm số hạng đầu là: \(8,-4,2,-1, \frac{1}{2}\).

Số hạng thứ 100 là: \(u_{100}=u_{1} \cdot q^{99}=8 \cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{99}=-\frac{1}{2^{96}}\).

Ví dụ 4. Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng 1536 và số hạng thứ 12 bằng 6144 . Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.

Giải

Giả sử \(u_{1}\) là số hạng đầu và \(q\) là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:

\[\left\{\begin{array}{l}u_{10}=u_{1} \cdot q^{9}=1536 \\u_{12}=u_{1} \cdot q^{11}=6144\end{array}\right.\]

Từ đây suy ra \(q^{2}=4\), tức là \(q=2\) hoặc \(q=-2\).Với \(q=2\), ta tính được \(u_{1}=3\).

Với \(q=-2\) ta tính được \(u_{1}=-3\) (trường hợp này loại vì \(u_{1}\gt 0\) theo giả thiết).

Do đó \(u_{1}=3\) và \(q=2\).

Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là \(u_{20}=u_{1} \cdot q^{19}=3 \cdot 2^{19}=1572864\).

3. Tính chất của cấp số nhân

Trong cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

\[u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1} \text {( } k \geq 2)\]

4. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\).

Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\). Khi đó

\[S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\]

Dãy cấp số nhân có công bội \(q=1\) chính là dãy số không đổi. Gọi số hạng của dãy là \(a\)Tổng n số hạng đầu \(S_{n}=a n\)

Ví đụ 5. Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân \(2,6,18, \ldots\) để được kết quả bằng \(728 ?\)

Giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu \(u_{1}=2\) và công bội \(q=3\).

Gọi \(n\) là số các số hạng đầu cần lấy.

Ta có \(728=S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{2\left(1-3^{n}\right)}{1-3}=3^{n}-1\).

Từ đây ta được \(3^{n}=729=3^{6}\).

Suy ra \(n=6\).

Vậy phãi lấy 6 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 728 .

5. Các dạng bài tập về cấp số nhân

5.1. Dạng 1: Chứng minh một dãy Un là một cấp số nhân

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\forall n \geq 1, u_{n+1}=u_{n} \cdot q\) trong đó \(q\) là một số không đồi.

Nếu \(u_{n} \neq 0\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^{*}\) thì ta lập tỉ số \(T=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

* T là hằng số thì \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân có công bội \(q=T\).

* T phụ thuộc vào \(\mathrm{n}\) thì \(\left(u_{n}\right)\) không là cấp số nhân.

Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng dãy số \(\left(v_{n}\right): v_{n}=(-1)^{n} \cdot 3^{2 n}\) là một cấp số nhân.

Giải

\(\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{(-1)^{n+1} 3^{2(n+1)}}{(-1)^{n} 3^{2 n}}=-9, \forall n \in \mathbb{N}^{*}\).

Vậy \(\left(v_{n}\right): v_{n}=(-1)^{n} \cdot 3^{2 n}\) là một cấp số nhân.

Bài 2: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) được xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=4 u_{n}+9\end{array}, \forall n \geq 1\right.\). Chứng minh rằng dãy số \(\left(v_{n}\right)\) xác định bởi \(v_{n}=u_{n}+3, \forall n \geq 1\) là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Giải

Vì có \(v_{n}=u_{n}+3(1) \Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}+3\) (2).

Theo đề \(u_{n+1}=4 u_{n}+9 \Rightarrow u_{n+1}+3=4\left(u_{n}+3\right)\)

Thay (1) và (2) vào (3) được: \(v_{n+1}=4 v_{n}, \forall n \geq 1 \Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_{n}}=4\) (không đổi)

. Kết luận \(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q=4\) và số hạng đầu \(v_{1}=u_{1}+3=5\).

5.2. Dạng 2: Xác định số hạng đầu công bội, số hạng thứ k, tính tổng của n thức hạng đầu

Phương pháp giải

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu \(u_{1}\), giải hệ phương trình này tìm được \(\mathrm{q}\) và \(u_{1}\).

Để xác định số hạng thứ \(\mathrm{k}\), ta sử dụng công thức: \(u_{k}=u_{1} \cdot q^{k-1}\).

Để tính tổng của n số hạng, ta sử dụng công thức: \(S_{n}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{n}}{1-q}, q \neq 1\).

Nếu \(q=1\) thì \(u_{1}=u_{2}=u_{3}=\ldots=u_{n}\), do đó \(S_{n}=n u_{1}\).

Bài tập

Bài 1:Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a) \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{5}=51 \\ u_{2}+u_{6}=102\end{array}\right.\) b) \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{2}+u_{3}=135 \\ u_{4}+u_{5}+u_{6}=40\end{array}\right.\) c) \(\left\{\begin{array}{l}u_{2}=6 \\ S_{3}=43 .\end{array}\right.\)

Lời giải

a). \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{5}=51 \\ u_{2}+u_{6}=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{1} q^{4}=51 \\ u_{1} q+u_{1} q^{5}=102\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(1+q^{4}\right)=51 \quad(*) \\ u_{1} q\left(1+q^{4}\right)=102(* *)\end{array}\right.\right.\right.\)

Lấy \(\frac{(* *)}{(*)} \Leftrightarrow \frac{u_{1} q\left(1+q^{4}\right)}{u_{1}\left(1+q^{4}\right)}=\frac{102}{51} \Leftrightarrow q=2 \Rightarrow u_{1}=\frac{51}{1+q^{4}}=\frac{51}{17}=3\).

Kết luận có công bội \(q=2\) và số hạng đầu tiên \(u_{1}=3\).

Kết luận: \(u_{1}=3\) và \(q=2\)

\[\begin{array}{l}\text { b) }\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } = 1 3 5 } \\{ u _ { 4 } + u _ { 5 } + u _ { 6 } = 4 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{1} q+u_{1} q^{2}=135 \\u_{1} \cdot q^{3}+u_{1} q^{4}+u_{1} q^{5}=40\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=135 \quad(*) \\u_{1} q^{3}\left(1+q+q^{2}\right)=40 \quad(* *)\end{array}\right.\end{array}\]\[\begin{array}{l}\text { Lây } \frac{(* *)}{(*)} \Leftrightarrow \frac{u_{1} q^{3}\left(1+q+q^{2}\right)}{u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)}=\frac{40}{135} \Leftrightarrow q^{3}=\frac{8}{27} \Leftrightarrow q=\frac{2}{3} \\\Rightarrow u_{1}=\frac{135}{1+q+q^{2}}=\frac{1215}{19} .\end{array}\]

Kết luận có công bội \(q=\frac{2}{3}\) và số hạng đầu tiên \(u_{1}=\frac{1215}{19}\).

\[\begin{array}{l}\text { c) }\left\{\begin{array} { l } { u _ { 2 } = 6 } \\{ S _ { 3 } = 4 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } q = 6 } \\{ u _ { 1 } + u _ { 2 } + u _ { 3 } = 4 3 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1} q=6 \\u_{1}+u_{1} q+u_{1} q^{2}=43\end{array}\right.\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q=6(*) \\u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=43(* *)\end{array} . \text { Lấy } \frac{(*)}{(* *)} \Leftrightarrow \frac{u_{1} q}{u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)}=\frac{6}{43}\right. \\\Leftrightarrow 43 q=6\left(1+q+q^{2}\right) \Leftrightarrow 6 q^{2}-37 q+6=0 \Leftrightarrow q=6 \vee q=\frac{1}{6}\end{array}\]

Với \(q=6 \Rightarrow u_{1}=1\). Vói \(q=\frac{1}{6} \Rightarrow u_{1}=36\).

Kết luận \(\left\{\begin{array}{l}q=6 \\ u_{1}=1\end{array}\right.\) hoặc \(\left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{6} \\ u_{1}=36\end{array}\right.\)

5.3. Dạng 3: Điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân( 3 số lập thành cấp số nhân)

Phương pháp giải

\(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành \(\operatorname{CSN} \Leftrightarrow a c=b^{2}\).

Bài tập

Bài 1: Cho dãy số \(\frac{-1}{\sqrt{2}} ; \sqrt{\mathrm{b}} ; \sqrt{2}\). Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân?

A. \(b=-1\).

B. \(b=1\).

C. \(b=2\).

D. Không có giá trị nào của b.

Huớng dẫn giải:Chọn D.

Dãy số đã cho lập thành cấp số nhân khi \(\left\{\begin{array}{l}b \geq 0 \\ b=-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=-1\end{array}\right.\).

Vậy không có giá trị nào của b.

6. Sơ đồ tư duy cấp số nhân

7. Lời kết

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cấp số nhân trong chương trình toán 11. Hy vọng với những gì Examon cung cấp sẽ giúp ích cho các bạn trong qúa trình học tập.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!