Cấp số nhân

Phạm Linh

Trong chương trình toán học 11 thì cấp số nhân là phần kiến thức trọng tâm. Hãy để Dicamon giúp bạn học và luyện tập để học tốt chương trình toán 11 nhé!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Định nghĩa
    • 1.1. Cấp số nhân.
    • 1.2. Công bội của cấp số nhân.
  • 2. Số hạng tổng quát
  • 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân.
  • Bộ đề cấp tốc 30 ngày cùng Examon
  • 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
  • 5. Bài tập cấp số nhân
    • Bài 1: Dạng toán viết số hạng tổng quát của cấp số nhân
    • Bài 2: Tìm số để tạo thành cấp số nhân
    • Bài 3: Tính u1
    • Bài 4: Tính S7
  • 6. Lời kết
  • 7. Bắt đầu từ hôm nay để thành công đến sớm hơn.

Cấp số nhân là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán 11 và cũng có thể xuất hiện trong các đề thi THPTQG. Để giúp bạn hoàn thành tốt các bài tập và bài thi, Examon hy vọng phần kiến thức dưới đây sẽ giúp bạn ghi nhớ và vận dụng hiệu quả để chinh phục thành công chủ để cấp số nhân.

banner

1. Định nghĩa

1.1. Cấp số nhân.

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

1.2. Công bội của cấp số nhân.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.- Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

\[u_{n+1}=u_{n} \text {. q với } n \in \mathbb{N}^{*} \text {. }\]

- Đặc biệt

Khi \(q=0\), cấp số nhân có dạng \(u_{1}, 0,0, \ldots ., 0, \ldots .\).

Khi \(q=1\), cấp số nhân có dạng \(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{1}, \ldots ., \mathrm{u}_{1}, \ldots\)

Khi \(u_{1}=0\) thì với mọi q, cấp số nhân có dạng \(0,0,0,0,0, \ldots, 0\)..

Ví dụ 1. Dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân: \(2,4,8,16,32\) với số hạng đầu \(u_{1}=2\) và công bội \(q=2\).

2. Số hạng tổng quát

- Định lí: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2\).-

 Ví dụ 2. Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{1}=-1 ; q=-2\).

a) Tính \(u_{6}\);

b) Hỏi 128 là số hạng thứ mấy.

Lời giải:

a) Ta có: \(u_{6}=u_{1} \cdot q^{5}=-1 \cdot(-2)^{5}=32\).

b) Ta có: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) nên \(128=-1 \cdot(-2)^{n-1}\)\(\Leftrightarrow(-2)^{n-1}=-128=(-2)^{7}\).\(\Leftrightarrow n-1=7\) nên \(n=8\).

Vậy 128 là số hạng thứ 8.

3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân.

- Định lí: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:

\[\begin{array}{l}u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1} ; k \geq 2 \\\text { ( hay }\left|u_{k}\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}} \text { ). }\end{array}\]

Bộ đề cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Examon.png
Bộ đề cấp tốc 30 ngày cùng Examon

4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.

- Định lí: Cho cấp số nhân ( \(u_{n}\) ) với công bội \(q \neq 1\)

Đặt \(s_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).

Khi đó: \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).

Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots . u_{1}, \ldots\). Khi đó, \(S_{n}=\) n.u \(u_{1}\).

Ví dụ 3. Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{1}=3 ; u_{2}=9\). Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên?

Lời giải:

Ta có: \(\mathrm{u}_{2}=\mathrm{u}_{1} . \mathrm{q}\) nên \(9=3 \mathrm{q}\).

Suy ra, công bội q = 3 .

Khi đó, tổng của 8 số hạng đầu tiên là:

\[\begin{array}{l}S_{8}=\frac{u_{1}\left(1-q^{8}\right)}{1-q} \\=\frac{3 \cdot\left(1-3^{8}\right)}{1-3}=9840\end{array}\]

5. Bài tập cấp số nhân

Bài 1: Dạng toán viết số hạng tổng quát của cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với \(u_{4}=108\) và \(u_{2}=3\). Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q \gt 0 ?

Lời giải:

Theo đầu bài ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{c}u_{4}=108 \\u_{2}=3\end{array} \Leftrightarrow\right. \\\left\{\begin{array}{c}u_{1} \cdot q^{3}=108(1) \\u_{1} \cdot q=3(2)\end{array}\right.\end{array}\]

Lấy (1) chia (2), vế chia vế ta được:

\[\frac{u_{1} q^{3}}{u_{1} q}=\frac{108}{3} \text { hay } q^{2}=36 \text {. }\]

Suy ra; \(q=6\) (vì q > 0 )

Thay vào (2) ta được: \(u_{1} .6=3\) nên \(u_{1}=\frac{1}{2}\).

Do đó, số hạng tổng quát của cấp số nhân đã cho là: \(u_{n}=\frac{1}{2} \cdot 6^{n}\).

Bài 2: Tìm số để tạo thành cấp số nhân

Bài 2. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm bốn số đó?

Lời giải:

Khi chèn thêm 4 số nữa vào giữa các số 160 và 5, ta được cấp số nhân với:

\[\begin{array}{l}u_{1}=160 \text { và } u_{6}=5 \\\text { Vì } u_{6}=u_{1} \cdot q^{5} \text { nên } 5=160 \cdot q^{5} \\\Rightarrow q^{5}=\frac{1}{32} \Rightarrow q=\frac{1}{2}\end{array}\]

Khi đó:

\[\begin{array}{l}\mathrm{u}_{2}=160 \cdot \frac{1}{2}=80 \\\mathrm{u}_{3}=160 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=40 \\\mathrm{u}_{4}=160 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=20 \\\mathrm{u}_{5}=160 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=10\end{array}\]

Bài 3: Tính u1

Bài 3. Cho cấp sõ̃ nhân ( \(u_{n}\) ) thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c}u_{2}=6 \\ S_{3}=43\end{array}\right.\). Tính \(u_{1}\) ?

Lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u_{2}=6 \\s_{3}=43\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1} q=6 \\\frac{u_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q}=43\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1} q=6 \\u_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=43\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1} q=6 \\u_{1}+u_{1} q+u_{1} q^{2}=43\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}u_{1}=\frac{6}{q}(1) \\u_{1}+u_{1} q+u_{1} q^{2}=43\end{array}\right.\end{array}\]

Thế (1) vào (2) ta được:

\[\frac{6}{q}+\frac{6}{q} \cdot q+\frac{6}{q} \cdot q^{2}=43\]

Suy ra: \(6+6 q+6 q^{2}=43 q\)\(\Leftrightarrow 6 q^{2}-37 q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}q=6 \\ q=\frac{1}{6}\end{array}\right.\)+ Với \(q=6\) thì \(\mathrm{u}_{1}=\frac{6}{6}=1\)+ Với \(\mathrm{q}=\frac{1}{6} \Rightarrow \mathrm{u}_{1}=\frac{\frac{6}{\frac{1}{6}}}{}=36\).Vậy \(\mathrm{u}_{1}=1\) hoặc \(\mathrm{u}_{1}=36\).

Bài 4: Tính S7

Bài 4. Cho cấp sõ cộng \(\left(u_{n}\right)\) thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c}u_{4}+u_{6}=120 \\ u_{3}+u_{5}=60\end{array}\right.\). Tính \(\mathrm{S}_{7}\) ?

Lời giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}u_{4}+u_{6}=120 \\u_{3}+u_{5}=60\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q^{3}+u_{1} q^{5}=120 \\u_{1} q^{2}+u_{1} q^{4}=60\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q^{3}\left(1+q^{2}\right)=120(1) \\u_{1} q^{2}\left(1+q^{2}\right)=60(2)\end{array}\right.\end{array}\]

Lấy (1) chia (2), vẽ chia vẽ ta được: \(q=2\).

Thay \(\mathrm{q}=2\) vào (1) 

ta được: \(\mathrm{u}_{1} \cdot 2^{3} \cdot\left(1+2^{2}\right)=120\) nên \(\mathrm{u}_{1}=3\).

Khi đó:

\[\begin{array}{l}S_{7}=\frac{u_{1}\left(1-q^{7}\right)}{1-q} \\=\frac{3 \cdot\left(1-2^{7}\right)}{1-2}=381\end{array}\]

Vậy \(S_{7}=381\).

6. Lời kết

Với phần kiến thức cấp số nhân phía trên Examon hy vọng rằng bạn đã tiếp thêm cho mình phần nào kiến thức. Đừng quên luyện tập mỗi ngày để không quên kiến thức nhé. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong học tập.

7. Bắt đầu từ hôm nay để thành công đến sớm hơn.

Chỉ khi bạn bắt đầu thì thành công của bạn đã đến gần hơn một bước. Toán học hay cấp số nhân đó sẽ không phải là cản trở bạn đến bước đường thành công nữa nếu bắt đầu ngay hôm nay.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!