Cách xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

Để xác định tính chẵn, lẻ của hàm số \(y=f(x)\), ta thực hiện theo các bước sau:

\(\sqrt{ }\) Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.

Tập D phải đối xứng, tức là nếu \(\forall x \in D\) thì \(-x \in D\).

- Nếu tập D đối xứng, thực hiện tiếp Bước 2 .

- Nếu tập D không đối xứng, dừng lại và kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

\(\sqrt{ }\) Bước 2: Tính \(\mathrm{f}(-\mathrm{x})\) và thu gọn kết quả. Khi đó

- Nếu \(\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) : hàm số đã cho là hàm số chẵn.

- Nếu \(f(-x)=-f(x)\) : hàm số đã cho là hàm số lẻ.

- Nếu không rơi vào hai trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Chú ý:

- Các hàm số \(\mathrm{y}=\sin \mathrm{x}, \mathrm{y}=\tan \mathrm{x}, \mathrm{y}=\cot \mathrm{x}\) là hàm số lẻ.

- Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn.

- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là tung là trục đối xứng.

- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y=2 \sin x+3 \tan x\);

b) \(y=x \sin ^{2023} x \cdot \cos 4 x\).

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(y=f(x)=2 \sin x+3 \tan x\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi \right\rvert\, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).

Do đó, nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì -x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:

\(f(-x)=2 \sin (-x)+3 \tan (-x)=-2 \sin x-3 \tan x\)

\(=-(2 \sin x+3 \tan x)=-f(x), \forall x \in D\).

Vậy \(y=2 \sin x+3 \tan x\) là hàm số lẻ.

b) Đặt \(y=f(x)=x \sin ^{2023} x \cdot \cos 4 x\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathrm{D}=\mathbb{R}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định \(D\) thì -x cũng thuộc tập xác định \(D\).

Ta có:

\(f(-x)=(-x) \sin ^{2023}(-x) \cdot \cos (-4 x)=x \sin ^{2023} x \cdot \cos 4 x\).

Vậy \(y=x \sin ^{2023} x \cdot \cos 4 x\) là hàm số chẵn trên \(D\).

2.2 Ví dụ 2

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y=|\sin x|\).

B. \(y=x^{2} \cdot \sin x\)

C. \(y=x / \cos x\).

D. \(y=x+\sin x\).

Lời giải chi tiết

Chọn A

+ Xét phương án \(\mathrm{A}\) :

Hàm số có tập xác định \(D=R ; \forall x \in D\) thì \(-x \in D\).

Ta có:

3. Bài tập rèn luyện

Câu 1: Cho hàm số \(f(x)=\sin 2 x\) và \(g(x)=\tan ^{2} x\). Chọn mệnh đề đúng.

A. \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm số chẵn, \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) là hàm số lẻ.

B. \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm số lẻ, \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) là hàm số chẵn.

C. \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) là hàm số chẵn, \(\mathrm{g}(\mathrm{x})\) là hàm số chẵn.

D. \(f(x)\) và \(g(x)\) đều là hàm số lẻ.

Câu 2:Hàm số nào sau đây là hàm số lé?

A. \(y=-2 \cos x\).

B. \(y=-2 \sin x\).

C. \(y=-2 \sin x^{2}+2\).

D. \(y=-2 \cos x+2\).

Câu 3:Hãy chỉ ra hàm số nào là hàm số lẻ:

A. \(y=\sqrt{ }(\sin x)\).

B. \(y=\sin ^{2} x\).

C. \(y=\cot x / \cos x\).

D. \(y=\tan x / \sin x\).

Câu 4:Hàm số \(y=\tan 2 x / \sin ^{3} x\) có tính chất nào sau đây?

A. Hàm số chẵn.

B. Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ.

D. Tập xác định \(D=R\).

Câu 5:Hãy chỉ ra hàm số không có tính chẵn lẻ

A. \(y=\sin x+\tan x\).

B. \(y=\tan x+1 / \sin x\).

C. \(y=\sqrt{ } 2 \sin (x-\pi / 4)\).

D. \(y=\cos ^{4}-\sin ^{4}\).

Câu 6:Hàm số \(y=\sin x \cdot \cos ^{2} x+\tan x\) là:

A. Hàm số chẵn.

B. Hàm số lẻ

C. Vừa chẵn vừa lẻ.

D. Không chẵn không lẻ.

Câu 7:Hàm số \(y=10-2 \sin ^{2} x\) là:

A. Hàm số chẵn.

B. Hàm số lẻ.

C. Hàm không chẵn không lẻ.

D. Hàm số không tuần hoàn.

Câu 8:Cho các hàm số sau đây

(I) \(y=|\sin x|\).

(II) \(y=x^{2} \sin x\).

(III) \(y=x / \cos x\).

\((I V) y=x+\sin x\).

Hỏi có bao nhiêu hàm số là hàm lẻ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 9:Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A. \(y=\sin x \cdot \cos 2 x\).

B. \(y=\sin ^{3} x \cdot \cos (x-\pi / 2)\).

C. \(y=\tan x /\left(\tan ^{2}+1\right)\).

D. \(y=\cos x \cdot \sin ^{3} x\)

Câu 10:Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. \(y=1-\sin ^{2} x\)

B. \(y=|\cot x| \cdot \sin ^{2} x\)

C. \(y=x^{2} \tan 2 x-\cot x\).

D. \(y=1+|\cot x+\tan x|\).

4. Học tập hiệu quả cùng Examon

Qua bài viết, Examon đã giới thiệu cho các bạn về phương pháp giải, ví dụ minh họa cũng như bài tập củng cố về phần cách xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được các bài tập trên thì các bạn đã nắm vững được 90% kiến thức. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều dạng bài tập mới về lượng giác nhé!

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!