Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Để hôm nay Examon giới thiệu với các bạn một dạng bài khác của bài này chính là cách tính tổng n số hạng đầu tiên.
Mục lục bài viết
Các bạn đừng lo lắng vì cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân không quá khó. Chỉ cần bạn đọc qua bài viết hướng dẫn dưới đây của Examon bạn sẽ biết cách làm dạng bài tính tổng của cấp số nhân nhé.
1. Phương pháp giải
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q\) = 1. Khi đó tổng n số hạng đâu tiên được tính theo công thức:
\[S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\]Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1} ; u_{1} ; u_{1} ; \ldots u_{1} ; .\). khi đó \(S_{n}=\) n. \(u_{1}\).
2. Ví dụ minh họa
Dưới đây là một số ví dụ vận dụng công thức tính tổng n số hạng đều tiên của cấp số nhân.
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
Bài tập 1: Cho cấp số nhân \(\left( u_{n} \right )\) với \(u_{2} = 10\) và \(u_{5} = 1250\). Tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Lời giải:
Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
\[S_{20}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{2 \cdot\left[1-5^{20}\right]}{1-5}=\frac{1}{2} \cdot\left(5^{20}-1\right)\]Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: Cho dãy số \(\left(u_{n}\right)\) xác định bởi \(u_{n}=4^{\frac{n}{2}+2}\). Tính tổng \(\mathrm{S}=\mathrm{u}_{2}+\mathrm{u}_{4}+\mathrm{u}_{6}+\ldots+\mathrm{u}_{14}\)
A. 349504
B. 138904
C. 286402
D. 264932
Lời giải
Ta có: \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{4^{\frac{n+1}{2}+2}}{4^{\frac{n}{2}+2}}=2\) với mọi n.
=> Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với \(u_{1}=32\) và công bội \(q=2\).
Các số \(u_{2} ; u_{4} ; u_{6} ; \ldots ; u_{14}\) lập thành cấp số nhân số hạng đầu \(u_{2}=u_{1} . q=64\) và công bội \(q '=2 q=4\) Tổng của 7 số hạng \(\mathrm{u}_{2} ; \mathrm{u}_{4} ; \ldots \mathrm{u}_{14}\) là :
\[S=64 . \frac{1-4^{7}}{1-4}=349504\]Chọn A.
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
Ví dụ 3: Cho cấp số nhân ( \(u_{n}\) ) thỏa mãn. \(\left\{\begin{array}{c}u_{4}=\frac{1}{27} \\ u_{3}=243 u_{8}\end{array}\right.\)
Tính tởng 20 số hạng đầu của cấp sộ nhân?
A. \(\frac{2}{3} \cdot\left[1-3^{19}\right]\)
B. \(\frac{2}{3} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\)
C. \(\frac{3}{2} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\)
D. \(\frac{3}{2} \cdot\left[1-3^{20}\right]\)
Lời giải:
Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giả thiết ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{\begin{array} { l } { u _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 7 } } \\{ u _ { 3 } = 2 4 3 u _ { 8 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1} \cdot q^{3}=\frac{1}{27} \\u_{1} \cdot q^{2}=243 u_{1} \cdot q^{7}\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} \cdot q^{3}=\frac{1}{27} \\q^{2}=243 q^{7}\end{array}\left(\text { vì } u_{1} \neq 0\right)\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } \cdot q ^ { 3 } = \frac { 1 } { 2 7 } } \\{ 1 = 2 4 3 q ^ { 5 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}u_{1}=1 \\q=\frac{1}{3}\end{array}\right.\right.\end{array}\]Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:
\[S_{20}=u_{1} \cdot \frac{1-q^{20}}{1-q}=1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \cdot\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{20}\right]\]Chon C.
Ví dụ 4:
Ví dụ 4:
Ví dụ 4 : Tính tổng: \(S_{n}=1+11+111+\ldots+\underbrace{11 \ldots 1}_{n \text { so } 1}\).\
Lời giải
\(\begin{array}{l}S_{n}=1+11+111+\ldots+\underbrace{11 \ldots 1}_{n s 01} \\ =\frac{1}{9}(9+99+999+\ldots+\underbrace{99 \ldots 9}_{n s 09}) \\ =\frac{1}{9}\left(10-1+10^{2}-1+10^{3}-1+\ldots+10^{n}-1\right) \\ =\frac{1}{9}\left[\left(10+10^{2}+10^{3}+\ldots+10^{n}\right)-n\right] \\ =\frac{1}{9}\left(\frac{10 \cdot\left(1-10^{n}\right)}{1-10}-n\right) \\ =\frac{10\left(10^{n}-1\right)}{81}-\frac{1}{9} n .\end{array}\)
3. Lời kết
Với công thức và ví dụ mà Examon đưa đến với bạn sẽ giúp bạn lấy trọn điểm phần kiến thức về cách tính tổng n số hạng đầu tiên. Đừng quên ôn tập thật kĩ các dạng trước các bài thi và kiểm tra để ẵm trọn điểm số. Chúc bạn học tốt.
4. Học cấp số nhân cùng Examon
Nếu bạn muốn nắm chắc toàn bộ kiến thức cấp số nhân từ A đến Z hãy tham khảo những bài viết bổ ích khác của Examon.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
