Cách tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

1. Phương pháp giải

+ Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T \neq\) 0 sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x+T \in D ; x-T \in D\) và \(f(x+T)=f(x)\).

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được goi là một hàm số tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}\).

+ Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác ( nếu có ):

Hàm số \(y=k \cdot \sin (a x+b)\) có chu kì là \(T=2 \pi /|a|\)

Hàm số \(y=k \cdot \cos (a x+b)\) có chu kì là \(T=2 \pi /|a|\)

Hàm số \(y=k \cdot \tan (a x+b)\) có chu kì là \(T=\pi /|a|\)

Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{k} \cdot \cot (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) có chu kì là: \(\mathrm{T}=\pi /|\mathrm{a}|\)

Hàm số \(y=f(x)\) có chu kì \(T 1\); hàm số \(T 2\) có chu kì \(T 2\) thì chu kì của hàm số \(y=a . f(x)+\) b. \(g(x)\) là \(\mathrm{T}\) = bội chung nhỏ nhất của \(\mathrm{T} 1\) và \(\mathrm{T} 2\)

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Tìm chu kì (nếu có) của các hàm số:

a) \(y=\sin 2 x+1\)

b) \(y=-3 \tan \left(4 x+\frac{\pi}{3}\right)\)

c) \(y=\cos ^{2} x-1\)

d) \(y=\sin ^{2}(2 x-3)+5\)

Lời giải cho tiết

a) Hàm số y \(=\sin 2 x\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{2 \pi}{2}=\pi\)

Vậy hàm số \(y=\sin 2 x+1\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

b) Hàm số \(\mathrm{y}=-3 \tan \left(4 \mathrm{x}+\frac{\pi}{3}\right)\) tuần hoàn theo chu kì \(\frac{\pi}{4}\).

c) Ta có: \(y=\cos ^{2} \mathrm{x}-1=\frac{1+\cos 2 \mathrm{x}}{2}-1=\frac{1}{2} \cos 2 \mathrm{x}-\frac{1}{2}\)

Hàm số y \(=\cos 2 x\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{2 \pi}{2}=\pi\).

Vậy hàm số \(y=\cos ^{2} x-1\) tuần hoàn với chu kì \(\pi\).

d) Ta có:

\(y=\sin ^{2}(2 x-3)+5=\frac{1-\cos (4 x-6)}{2}+5=-\frac{1}{2} \cos (4 x-6)+\frac{11}{2}\).

Hàm số \(y=\cos (4 x+6)\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}\).

Vậy hàm số \(y=\sin ^{2}(2 x-3)+5\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi}{2}\).

2.2 Ví dụ 2

Chu kỳ của hàm số \(y=\tan x\) là:

A. \(2 \pi\)

В. \(\pi / 4\)

C. \(k \pi, k \in Z\)

D. \(\pi\)

Lời giải chi tiết

Chọn D

Tập xác định của hàm số: \(D=R \backslash\{\pi / 2+k \pi, k \in Z\}\)

Với mọi \(x \in D ; k \in Z\)

ta có \(x-k \pi \in D ; x+k \pi \in D\) và \(\tan (x+k \pi)=\tan x\)

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi\) (ứng với \(k=1\) ) là số dương nhỏ nhất thỏa mãn \(\tan (\mathrm{x}+\mathrm{k} \pi)=\tan \mathrm{x}\)

2.3 Ví dụ 3

Tìm chu kì của hàm số \(y=10 \pi \cos (\pi / 2-20 x)\) ?

A. \(20 \pi\)

B. \(10 \pi\)

C. \(\pi / 20\)

D. \(\pi / 10\)

Lời giải chi tiết

Hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{k} \cdot \cos (\mathrm{ax}+\mathrm{b})\) có chu kì là: \(\mathrm{T}=2 \pi /|a|\).

Chu kì của hàm số: \(y=20 \pi \cdot \cos (\pi / 2-20 x)\) là:

\(T=2 \pi /|-20|=\pi / 10\)

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Hàm số \(y=\cos 3 x+\sin \frac{x}{3}\) tuần hoàn với chu ki??

A. \(6 \pi\) B. \(\pi\) C. \(3 \pi\) D. \(\frac{\pi}{3}\)

Câu 2. Hàm số \(y=\sin ^{2} x\) tuần hoàn với chu kì?

A. \(2 \pi\) B. \(4 \pi\) C. \(\frac{\pi}{2}\) D. \(\pi\)

Câu 3. Hàm số \(y=\tan x+\cot 4 x\) tuần hoàn với chu kì?

A. \(\frac{\pi}{4}\) B. \(4 \pi\) C. \(\frac{\pi}{2}\) D. \(\pi\)

Câu 4. Hàm số \(y=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{3} \sin 3 x\) tuần hoàn với chu kì?

A. \(4 \pi\) B. \(2 \pi\) C. \(\pi\) D. \(6 \pi\)

Câu 5. Hàm số \(y=2 \cos ^{2}(\pi x)+1\) tuần hoàn với chu kì?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 6. Hàm số \(y=3 \sin x \cdot \cos 3 x+1\) tuần hoàn với chu kì:

A. \(\frac{\pi}{3}\) B. \(2 \pi\) C. \(\frac{\pi}{2}\) D. \(\pi\)

Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào nào không tuần hoàn:

A. \(y=\tan ^{2} 2 x+1\)

B. \(y=\sin 5 x-4 \cos 7 x\)

C. \(y=\sin x+\sin (x \sqrt{ } 2)\)

D. \(y=3 \sin 2 x-\sqrt{2}\)

Câu 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. \(y=\sin x-x\)

B. \(y=-2 \cos 3 x+2\)

C. \(y=x \sin 2 x\)

D. \(y=x^{4}+x^{2}+1\)

Câu 9: Tìm chu kì (nếu có) của các hàm số:

a) \(y=\sin 3 x+\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)\)

b) \(y=\cos ^{2} x-\sin \frac{x}{2}+1\)

c) \(y=\sin 4 x \cdot \cos 2 x\)

d) \(y=\sin x+\cos (\sqrt{ } 2 x)\)

4. Nâng cấp kiến thức cùng Examon

Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn về các Cách tính chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác trong chương trình toán lớp 11 từ cơ bản đến nâng cao. Examon hy vọng có thể giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!