Cách tìm Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trương Văn Danh

Tìm hiểu phương pháp tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong bài viết hôm nay cùng Examon nhé!

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Định nghĩa và tính chất Tích phân
    • 1.1. Định nghĩa:
    • 1.2. Tính chất:
  • 2. Phương pháp giải:
  • 3. Cách giải chi tiết.
    • 3.1. Cách 1:
    • 3.2. Cách 2:
  • 4. Bài tập vận dụng.
    • 4.1. Bài tập 1:
    • 4.2. Bài tập 2:
    • 4.3. Bài tập 3:
    • 4.4. Bài tập 4:
    • 4.5. Bài tập 5:
  • Lời kết

Tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối làm bạn đau đầu vì không biết phương pháp tính, không thể giải các dạng bài tập tích phân liên quan? Đừng lo, bài viết hôm nay Examon sẽ giúp bạn tổng hợp các kiến thức liên quan, đưa ra các phương pháp tính và cách giải đơn giản nhất của dạng bài tập tích phân này giúp bạn dễ dàng nắm bắt thực hiện một các dễ dàng và thuận tiện nhất!

banner

1. Định nghĩa và tính chất Tích phân

1.1. Định nghĩa:

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:

\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]

Nhận xét: 

• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\)

• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).

Ý nghĩa hình học của tích phân: 

Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)

1.2. Tính chất:

Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\) 

Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).

Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)

Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)

Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)

Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )

Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text {  }\]

\((k\) là hằng số\()\)

Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là

\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]

Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)

Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)

Chú ý: 

Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).

2. Phương pháp giải:

Cho bài toán: 

Tính tích phân \(I=\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x\)( với \(g(x)\) là biểu thức chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối)

Phương pháp chung: Xét đấu của biểu thúc trong dấu giả trị tuyệt đối trên \([a ; b]\)

Dựa vào dấu để tách tich phân trên mỗi đoạn tuoong úng ( sử dụng tính chất 3 để tách) Tính mỗi tích phân thành phần.

Đặc biệt: Tính tích phân \(I=\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x\)

3. Cách giải chi tiết.

3.1. Cách 1:

• Cho \(f(x)=0\) tìm nghiệm trên \([a ; b]\)

• Xét dấu của \(f(x)\) trên \([a ; b]\), dưa vào dấu của \(f(x)\) đế tách tích phân trên mỗi đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất 3 để tách)

• Tính mỗi tích phân thành phần.

3.2. Cách 2:

• Cho \(f(x)=0\) tìm nghiệm trên \([a ; b]\) giả sử các nghiệm đó là \(x_{1} ; x_{2} ; \ldots x_{n}\) 

(với \(x_{1}\lt x_{2}\lt \ldots\lt x_{n}\) ).

Khi đó \(I=\int_{a}^{x_{1}}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(x)| \mathrm{d} x\)

\(+\int_{x_{2}}^{x_{3}}|f(x)| \mathrm{d} x+\ldots+\int_{x_{n}}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x\)

\(\Rightarrow I=\left|\int_{a}^{x} f(x) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \mathrm{d} x\right|\)

\(+\left|\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \mathrm{d} x\right|+\ldots+\left|\int_{x_{n}}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|\)

• Tính mỗi tích phân thành phần

4. Bài tập vận dụng.

4.1. Bài tập 1:

\(S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x\)\(=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}},\left(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z}^{+}\right), \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\) là phân số tối giản. Giá trị \(a+b\) bằng:

A. 11 .

B. 25 .

C. 100 .

D. 50 .

Hướng dẫn giải:

\[S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x\]

\(=-\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-x-2\right) d x\)

\(=-\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2 x\right)\right|_{-1} ^{2}\)

\(=-\left[\left(\frac{8}{3}-\frac{4}{2}-4\right)\right.\)

\(\left.-\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2\right)\right]=\frac{9}{2}\)

=> Chọn đáp án A.

4.2. Bài tập 2:

\(I=\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\sin 2 x} d x\)\(=\mathrm{a} \sqrt{\mathrm{a}},\left(\mathrm{a} \in \mathbb{N}^{*}\right)\). Hỏi \(\mathrm{a}^{3}\) là bao nhiêu?

A. 27 .

B. 64 .

C. 125 .

D. 8 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sqrt{1-\sin 2 x}=\sqrt{(\sin x-\cos x)^{2}}\)\(=|\sin x-\cos x|=\sqrt{2} \left\lvert\, \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right.\)

Với \(x \in[0 ; \pi]\)\(\Rightarrow x-\frac{\pi}{4} \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4}\right]\) 

• Với \(x-\frac{\pi}{4} \in\left[0 ; \frac{3 \pi}{4}\right]\) 

thì \(\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\gt 0\)

•Với \(x-\frac{\pi}{4} \epsilon\left[-\frac{\pi}{4} ; 0\right]\) 

thì \(\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\lt 0\)

\(\Rightarrow I=-\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) d x\)

\(+\sqrt{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right) d x=2 \sqrt{2}\)

=> Chọn đáp án D

4.3. Bài tập 3:

Biết \(I=\int_{1}^{5} \frac{2|x-2|+1}{x} \mathrm{~d} x\)\(=4+a \ln 2+b \ln 5\), với \(a, b\) là các số nguyên. Giá trị \(S=a-b\) bằng?

A. 9 .

B. 11 .

C. 5 .

D. -3 .

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(I=\int_{1}^{5} \frac{2|x-2|+1}{x} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{2|x-2|+1}{x} \mathrm{~d} x+\int_{2}^{5} \frac{2|x-2|+1}{x} \mathrm{~d} x\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{2(2-x)+1}{x} d x+\int_{2}^{5} \frac{2(x-2)+1}{x} d x\)

\(=\int_{1}^{2} \frac{5-2 x}{x} d x+\int_{2}^{5} \frac{2 x-3}{x} d x\)

\(=\int_{1}^{2}\left(\frac{5}{x}-x\right) d x+\int_{2}^{5}\left(2-\frac{3}{x}\right) d x\)

\(=\left.(5 \ln |x|-x)\right|_{1} ^{2}+\left.(2 x-3 \ln |x|)\right|_{2} ^{5}\)\(=8 \ln 2-3 \ln 5+4 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=8 \\ b=-3\end{array} \Rightarrow a-b=11\right.\)

=> Chọn đáp án B.

4.4. Bài tập 4:

Cho tích phân \(\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x=a b\) và \(a+b=2+2 \sqrt{2}\). Giá trị của a và \(b\) lần lượt là

A. \(\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\).

B. \(\left\{\begin{array}{l}a=2 \sqrt{2} \\ \mathrm{~b}=2\end{array}\right.\).

C. \(\left\{\begin{array}{l}a=2 \sqrt{2} \\ b=-2\end{array} \vee\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\).

D. \(\left\{\begin{array}{l}a=2 \sqrt{2} \\ b=2\end{array} \vee\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\).

Hướng dẫn giải:\(\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x=\sqrt{2} \int_{0}^{2 \pi}|\sin x| d x\)

\(=\sqrt{2} \int_{0}^{\pi} \sin x d x-\sqrt{2} \int_{\pi}^{2 \pi} \sin x d x\)\(=-\left.\sqrt{2} \cos x\right|_{0} ^{\pi}+\left.\sqrt{2} \cos x\right|_{\pi} ^{2 \pi}=4 \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a b=4 \sqrt{2} \\ a+b=2+2 \sqrt{2}\end{array}\right.\)

\(\Rightarrow x^{2}-(2+2 \sqrt{2}) x+4 \sqrt{2}=0\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \sqrt{2} \\ b=2\end{array} \vee\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=2 \sqrt{2}\end{array}\right.\right.\)

=> Chọn đáp án D.

4.5. Bài tập 5:

\(\mathrm{I}=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin \mathrm{x}} \mathrm{dx}=\mathrm{A} \sqrt{\mathrm{B}}\), biết \(\mathrm{A}=2 \mathrm{~B}\) Giá trị \(\mathrm{A}^{3}+\mathrm{B}^{3}\) bằng?

A. 72 .

B. 8 .

C. 65 .

D. 35 .

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\sqrt{1+\sin x}=\sqrt{\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^{2}}\)\(=\left|\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|\)

•Với \(x \in[0 ; 2 \pi] \Rightarrow \frac{x}{2} \in[0 ; \pi]\)

\(\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4} ; \frac{5 \pi}{4}\right]\) 

•Với \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \in\left[\frac{\pi}{4} ; \pi\right]\) thì \(\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\gt 0\)

•Với \(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \in\left[\pi ; \frac{5 \pi}{4}\right]\) thì \(\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\lt 0\)

\(\Rightarrow I=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{3 \pi}{2}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) d x\)

\(-\sqrt{2} \int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) d x=4 \sqrt{2}\)

=> Chọn đáp án A.

Lời kết

Trên đây, Examon đã giúp bạn tìm hiểu và biết thêm một phương pháp tính tích phân khi tích phân chứa giá trị tuyệt đối. Examon hy vọng rằng bạn sẽ nắm được những kiến thức trọng tâm và đã có thể tự áp dụng để giải các dạng bài tập tích phân liên quan. Nếu muốn giải các bài tập tích phân một cách thành thạo bạn phải thật chăm chỉ luyện đề nhé! Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? 

Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Examon.png
Bộ đề thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!