Cách tìm Nguyên hàm bằng phương pháp Vi phân

1. Vi phân là gì?

1.1 Khái niệm vi phân của hàm số

- Vi phân là một trong những phương pháp tính đạo hàm phổ biến. Đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\), với \(x\) là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của \(y\) tương ứng với độ biến thiên của \(x\) và còn được gọi là đạo hàm của \(f\) đối với \(x\).

- Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x\)

\[d y=d f(x)=f^{\prime}(x) \cdot d x\]

- Tích \(f^{\prime}(x) d x\) được gọi là vi phân của hàm số tại điểm \(x\)0

- Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in(a ; b)\)

- Giả sử \(\Delta x\) là số gia của \(x\) sao cho \(x+\Delta x \in(a ; b)\)

- Ta gọi \(f^{\prime}(x) \cdot \Delta x\) là vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x\) ứng với số gia \(\Delta x\) và kí hiệu là dy hoặc \(d f(x)\)

\[d y=d f(x)=f^{\prime}(x) \cdot \Delta x\]

1.2 Ví dụ về Vi phân

a) Ví dụ 1:\(\begin{array}{l}\text y=\cos ^{2} x=u^{\wedge} 2 \text { với } u=\cos x=\gt u^{\prime}=- \\ \sin x \\ y^{\prime}=2 u \cdot u^{\prime}=(2 \cos x) \cdot(-\sin x) \\ =-2 \sin x \cdot \cos x=-\sin 2 x \\ =>d y=-\sin 2 x d x\end{array}\)

b) Ví dụ 2:

\(\mathrm{y}=3 x^{2}-5 x+2\)

\[\begin{array}{l}y^{\prime}=\left(3 x^{2}-5 x+2\right)^{\prime}=3 \cdot 2 x-5 \cdot 1=6 x- \\5\end{array}\]

2. Khái niệm về Nguyên hàm

2.1 Định nghĩa Nguyên hàm

Ký hiệu \(K\) là khoản, đoạn hoặc nửa khoản của \(R\).

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(K\).

Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\)trên \(K\) nếu \(F'(x)\) = \(f(x)\) với mọi \(x ∈ K\).

2.2 Tính chất Nguyên hàm

Tính chất 1: \((∫f(x)dx)' = f(x) và ∫f'(x)dx = f(x) + CT\)

Tính chất 2: \(∫kf(x)dx = k∫f(x)dx\) với \(K\) là hằng số khác 0.

Tính chất 3: \(∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx\)

2.3 Định lý Nguyên hàm

Định lý 1: Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x)\) = \(F(x)+C\)cũng là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\).

Định lý 2: Ngược lại, nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x) + CV\) với \(C\) là một hằng số tùy ý.

Kí hiệu họ nguyên hàm của hàm số\(f(x)\) là \(∫f(x)dx\)

Khi đó: \(∫f(x)dx =F(x) + C, C ∈ R.\)

3. Một số hàm số Nguyên hàm thường gặp

3.1 Hàm số sơ cấp

\(\int \mathrm{d} x=x+C\) & \(\int\)

\(\int x^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\) & \(\int\)

\(\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C\) & \(\int\)

\(\int e^{x} \mathrm{~d} x=e^{x}+C\)

\(\int a^{x} \mathrm{~d} x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1)\)

\(\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C\) & \(\int\)

\(\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C\)

\(\int \frac{1}{\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=\tan x+C\)

\(\int \frac{1}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\cot x+C\)

3.2 Hàm số hợp

\(\begin{array}{l}\int \mathrm{d} u=u+C \\ \int u^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{u^{\alpha+1}} {\alpha+1}+C(\alpha \neq-1) \\ \int \frac{1}{u} \mathrm{~d} u=\ln |u|+C \\ \int e^{u} \mathrm{~d} u=e^{u}+C\end{array}\)\(\begin{array}{l}\int a^{u} \mathrm{~d} u=\frac{a^{u}}{\ln a}+C(0\lt a \neq 1) \\ \int \cos u \mathrm{~d} u=\sin u+C \\ \int \sin u \mathrm{~d} u=-\cos u+C \\ \int \frac{1}{\cos ^{2} u} \mathrm{~d} u=\tan u+C \\ \int \frac{1}{\sin ^{2} u} \mathrm{~d} u=-\cot u+C\end{array}\)

4. Một số công thức Vi phân cần nhớ

1. \(d x=\frac{1}{a} d(a x \pm b)=\frac{-1}{a} d(b \pm a x)\)

2. \(x d x=\frac{1}{2} d\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2 a} d\left(a x^{2} \pm b\right)=-\frac{1}{2 a} d\left(b \pm a x^{2}\right)\)

3.\(x^{2} d x=\frac{1}{3} d\left(x^{3}\right)=\frac{1}{3 a} d\left(a x^{3} \pm b\right)=\frac{-1}{3 a} d\left(b \pm a x^{3}\right)\)

4. \(\sin x=-\mathrm{d}(\cos \mathrm{x})=\frac{-1}{a} d(a \cos x \pm \mathrm{b})\)

5. \(\cos x d x=d(\sin x)=\frac{1}{a} d(a \sin x \pm b)\)

6. \(\frac{d x}{\cos ^{2} x}=d(\tan x)=\frac{1}{a} d(a \tan x \pm b)\)

7. \(\frac{d x}{\sin ^{2} x}=-d(\cot x)=\frac{-1}{a} d(a \cot x \pm b)\)

8. \(\frac{d x}{2 \sqrt{x}}=d(\sqrt{x})=\frac{1}{a} d(a \sqrt{x} \pm b)=\frac{-1}{a} d(b \pm a \sqrt{x})\)

9. \(e^{x} d x=d\left(e^{x}\right)=\frac{1}{a} d\left(a e^{x} \pm b\right)=\frac{-1}{a} d\left(b \pm a e^{x}\right)\)

10.\(\frac{d x}{x}=d(\ln x)=\frac{1}{a} d(a \ln x \pm b)=\frac{-1}{a} d(b \pm a \ln x)\)

5. Một số bài tập Nguyên hàm bằng phương pháp Vi phân cơ bản

Bài 1: Tìm nguyên hàm \(I = \int \frac{x + 1}{\left( x^{2} + 2 x \right )^{2}} dx\).

A. \(\int \frac{d u}{u^{2}} = \frac{- 1}{u} + C \Rightarrow I = \frac{- 1}{2 \left( x^{2} + 2 x \right )} + C\).

B. \(- \frac{1}{2} \ln{\left \lvert x^{2} + 2 x \right \rvert} + C\).

C. \(\frac{1}{x^{2} + 2 x} + C\).

Bài giải:

Ta có: \(\frac{- 1}{2 x^{2} + 4 x} + C\)

Áp dụng:\(\int \frac{x + 1}{\left( x^{2} + 2 x \right )^{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2 x + 2}{\left( x^{2} + 2 x \right )^{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{d \left( x^{2} + 2 x \right )}{\left( x^{2} + 2 x \right )^{2}}\)\(=>\)Chọn B.

Bài 2: Tìm nguyên hàm \(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x\).

A. \(\frac{1}{\sin x+\cos x}+C\).

B. \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\).

C. \(\ln |\sin x+\cos x|+C\).

D. \(-\ln |\sin x+\cos x|+C\).

Bài giải:

Ta có \(\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x} d x=-\int \frac{(\sin x+\cos x)^{\prime}}{\sin x+\cos x} d x\)\(=-\int \frac{d(\sin x+\cos x)}{\sin x+\cos x}=-\ln |\sin x+\cos x|+C\) \(=>\) Chọn D.

Bài 3: Cho hàm số \(y=f(x)\) thỏa mãn\(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 x^{5}+6 x^{2}\). Biết \(f(0)=2\). Tính giá trị \(f^{2}(2)\).

A. \(f^{2}(2)=144\).

B.\(f^{2}(2)=100\).

C. \(f^{2}(2)=64\).

D. \(f^{2}(2)=81\)

Bài giải: Ta có

\[\begin{array}{l}f(x) \cdot f^{\prime}(x)=3 x^{5}+6 x^{2} \Leftrightarrow \\\int f(x) \cdot f^{\prime}(x) d x=\int\left(3 x^{5}+6 x^{2}\right) d x \\\Leftrightarrow \int f(x) d(f(x))=\frac{x^{6}}{2}+2 x^{3}+C \\\Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2}=\frac{x^{6}}{2}+2 x^{3}+C \Leftrightarrow f^{2}(x) \\=x^{6}+4 x^{3}+2 C .\end{array}\]

Mà

\[\begin{array}{l}f(0)=2 \Rightarrow f^{2}(0)=4 \Rightarrow 2 C=4 \\\Rightarrow f^{2}(x)=x^{6}+4 x^{3}+4 .\end{array}\]

Vậy

\[\begin{array}{l}f^{2}(2)=\left.\left(x^{6}+4 x^{3}+4\right)\right|_{x=2}=2^{6} \\+4.2^{3}+4=100\end{array}\]

\(=>\) Chọn B.

Bài 4: Cho hàm số \(f(x)\)luôn dương và thóa mãn \(f^{\prime}(x)=3 x^{2} . f(x)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f(0)=1\). Giá trị của \(f(1)\) bằng:

A.1.

B.e.

C. \(e^{2}\).

D. \(e^{3}\).

Bài giải: Ta có:

\[f^{\prime}(x)=3 x^{2} \cdot f(x) \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=3 x^{2}\]

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

\[\begin{array}{l}\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\int 3 x^{2} d x \Leftrightarrow \int \frac{d f^{\prime}(x)}{f(x)}=x^{3} \\+C \\\Leftrightarrow \ln [f(x)]=x^{3}+C (\text { Do } \\f(x)\gt 0 \forall x \in \mathbb{R})\end{array}\]

Suy ra \(f(x)=e^{x^{3}+C}\). Do

\[\begin{array}{l}f(0)=e^{C}=1 \Leftrightarrow C=0 \Rightarrow f(1) \\=e\end{array}\]

\(=>\) Chọn B.

Bài 5: Cho hàm số \(f(x)\) luôn dương và thóa mãn \(f^{\prime}(x)=(2 x+1) \cdot \sqrt{f(x)}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Biết rằng \(f(2)=16\) . Giá trị của \(f(1)\) bằng:

A. 2.

B. \(\frac{5}{2}\).

C.4.

D. 5.

Bài giải: Ta có:

\[\begin{array}{l}f^{\prime}(x)=(2 x+1) \cdot \sqrt{f(x)} \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} \\=2 x+1\end{array}\]

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:

\[\begin{array}{l}\int \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}} d x=\int(2 x+1) d x \Leftrightarrow \\\int \frac{d f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}=x^{2}+x+C \\\Leftrightarrow 2 \sqrt{f(x)}=x^{2}+x+C\end{array}\]

Thay \(x=2\) ta có:2. \(\sqrt{6}=2^{2}+2+C \Rightarrow C=2\)Thay \(x=1\) ta có:

\[2 \sqrt{f(1)}=1^{2}+1+2 \Rightarrow f(1)=4 \text {. }\]

\(=> \) Chọn C.

Lời kết

Bài viết trên Examon đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức về cách tìm Nguyên hàm bằng phương pháp Vi phân. Examon hy vọng rằng qua bài viết trên các bạn đã phần nào hiểu được và nắm được các kiến thức về phương pháp tính Nguyên hàm này. Đây là một phương pháp tính hiệu quả và phổ biến nhưng nó chỉ hiệu quả khi bạn học thuộc và nắm vững các kiến thức, và cũng đừng quên việc luyện các dạng đề liên quan cũng rất quan trọng đó nha!

Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.

• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!

Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!

Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!