Cách làm dạng bài Nguyên hàm của hàm hợp
Bạn đã nghe đến thuật ngữ "quy tắc đổi biến" hay "quy tắc thay thế" khi làm bài tập Nguyên hàm ? Đó chính là một dạng nhỏ của Hàm hợp, nghe thú vị không nào.
Mục lục bài viết
Nguyên hàm của một hàm hợp là một kỹ thuật quan trọng trong giải tích, giúp ta tính tích phân của các hàm phức tạp hơn thông qua các phép biến đổi tích phân. Nguyên hàm hợp thường được tính bằng cách sử dụng các quy tắc thay thế (hay còn được gọi là quy tắc đổi biến). Để giải quyết các bài toán về Nguyên hàm của hàm hợp, các bạn có thể tham khảo bài viết sau đây
Các bước tính Nguyên hàm hợp
1. Đặt biến thay thế: u=g(x)
Khi đó, đạo hàm của \(u\) theo \(x\) là:
\[\frac{d u}{d x}=g^{\prime}(x) \quad \text { hay } \quad d u=g^{\prime}(x) d x\]2. Thay đổi biến trong tích phân
\(\int f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u\)
3. Tìm nguyên hàm trong biến mới u:
\(\int f(u) d u\)
4. Thay lại biến cũ:
\(\int f(u) d u=F(u)+C=F(g(x))+C\)
Ví dụ minh họa 1
Nguyên Hàm của \(\int 2 x e^{x^{2}} d x\)
b1: Đặt biến thay thế
\[u=x^{2} \quad \Rightarrow \quad d u=2 x d x \quad \Rightarrow \quad d x=\frac{d u}{2 x}\]b2: Thay đởi biến trong tích phân
\[\int 2 x e^{x^{2}} d x=\int e^{u} d u\]b3: Tính nguyên hàm theo biến mới \(u\)
\[\int e^{u} d u=e^{u}+C\]b4: Thay lại biến cũ
\[e^{u}+C=e^{x^{2}}+C\]Vậy:
\[\int 2 x e^{x^{2}} d x=e^{x^{2}}+C\]Ví dụ minh họa 2
Nguyên hàm của \(\int \cos (3 x) d x\)
b1: Đặt biến thay thế
\[u=3 x \quad \Rightarrow \quad d u=3 d x \quad \Rightarrow \quad d x=\frac{d u}{3}\]b2: Thay đởi biến trong tích phân
\[\int \cos (3 x) d x=\int \cos (u) \cdot \frac{d u}{3}=\frac{1}{3} \int \cos (u) d u\]b3: Tính nguyên hàm theo biến mới \(u\)
\[\frac{1}{3} \int \cos (u) d u=\frac{1}{3} \sin (u)+C\]b4: Thay lại biến cũ
\[\frac{1}{3} \sin (u)+C=\frac{1}{3} \sin (3 x)+C\]Vậy:
\[\int \cos (3 x) d x=\frac{1}{3} \sin (3 x)+C\]Ví dụ minh họa 3
Tìm nguyên hàm của \(\int 5 x \sin \left(x^{2}\right) d x\)
b1: Đặt biến thay thế
\[u=x^{2} \quad \Rightarrow \quad d u=2 x d x \quad \Rightarrow \quad d x=\frac{d u}{2 x}\]b2: Thay đởi biến trong tích phân
\[\int 5 x \sin \left(x^{2}\right) d x=\int 5 x \sin (u) \cdot \frac{d u}{2 x}=\frac{5}{2} \int \sin (u) d u\]b3: Tính nguyên hàm theo biến mới \(u\)
\[\frac{5}{2} \int \sin (u) d u=\frac{5}{2}(-\cos (u))+C=-\frac{5}{2} \cos (u)+C\]b4: Thay lại biến cũ
\[-\frac{5}{2} \cos (u)+C=-\frac{5}{2} \cos \left(x^{2}\right)+C\]Vậy:
\[\int 5 x \sin \left(x^{2}\right) d x=-\frac{5}{2} \cos \left(x^{2}\right)+C\]Tóm gọn cách dùng quy tắc
Bằng cách sử dụng quy tắc thế, ta có thể giải quyết các bài toán nguyên hàm phức tạp hơn một cách hiệu quả. Kỹ thuật này rất quan trọng trong giải tích và được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Examon mong rằng qua bài viết này, bạn đã phần nào hiểu và nắm được cách làm của dạng bài tìm nguyên hàm của hàm hợp.
Nắm vững chương trình học
Ta đa ! Xin gửi tặng các bạn bí quyết làm bài thi hấp dẫn nhất hiện nay.
Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận biết các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Tận dụng phương pháp mới
Với phương pháp vừa học vừa chơi dưới đây thì bạn không cần lo đâu nè, đây là cách Examon hỗ trợ bạn :
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực.
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Kỹ năng của bạn sẽ ở một tầm cao mới.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Bạn có tin bô đề này được bám sát tới tận \(99.9 \%\) đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon liền nha !