Cách giải Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

1. Phương pháp giải

Định nghĩa:

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

\[a(\sin x+\cos x)+b \sin x \cos x+c=0 (3)\]

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

\[\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=\sqrt{2} \sin \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{t^{2}-1}{2}=\sin x \cos x \\t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\end{array}\right.\]

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo \(t\).

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

\[a(\sin x-\cos x)+b \sin x \cos x+c=0\]

Để giải phương trình này ta cũng đặt

\[\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}=\sqrt{2} \sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}\frac{1-t^{2}}{2}=\sin x \cos x \\t \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\end{array}\right.\]

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo \(t\).

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Giải phương trình sau: \(2(\sin x+\cos x)+3 \sin 2 x=2\).

Lời giải:

Đặt \(t=\sin x+\cos x\). Đk: \(|t| \leq \sqrt{2}\).

Khi đó \(\frac{t^{2}-1}{2}=\sin x \cos x\).

Ta có phương trình đã cho có dạng:

\[\begin{aligned}2 \mathrm{t}+3 \cdot \frac{t^{2}-1}{2}=2 & \Leftrightarrow 3 t^{2}-4 \mathrm{t}-7=0 \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=\frac{7}{3}(k h o ̂ n g \text { thỏa mã } n) \\t=-1\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)=-1 \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \mathrm { x } + \frac { \pi } { 4 } = \frac { 5 \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\{ \mathrm { x } + \frac { \pi } { 4 } = - \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\\mathrm{x}=\pi+k 2 \pi\end{array}(\mathrm{k} \in Z) .\right.\right.\end{aligned}\]

2.2 Ví dụ 2

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

\(3(\sin x+\cos x)+2 \sin 2 x=-3\)

Lời giải:

Đặt \(\mathrm{t}=\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x} . \mathrm{k}:|t| \leq \sqrt{2}\).

Khi đó \(\frac{t^{2}-1}{2}=\sin x \cos x\)

\[\begin{aligned}3 \mathrm{t}+2\left(t^{2}-1\right)=-3 & \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}t=-\frac{5}{2} \text { (không thỏa mã } n \text { ) } \\t=1\end{array}\right. \\& \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin \left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{4}\right)=1 \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \mathrm { x } + \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\{ \mathrm { x } + \frac { \pi } { 4 } = \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=k 2 \pi \\\mathrm{x}=\pi / 2+k 2 \pi\end{array}(\mathrm{k} \in Z)\right.\right.\end{aligned}\]

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là \(\pi / 2\).

2.3 Ví dụ 3

Giải phương trình: \(\sin 2 x+\sqrt{2} \sin (x-\pi / 4)=1\)

Lời giải:

\[t=\sin x-\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\]

Đk: \(|t| \leq \sqrt{2}\).

Khi đó \(\frac{1-t^{2}}{2}=\sin x \cos x\)

\[\begin{array}{l}1-t^{2}+\mathrm{t}=1 \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { t = 1 } \\{ t = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}\sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{t}{\sqrt{2}}=0 \\\sin \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { \mathrm { x } - \frac { \pi } { 4 } = \frac { \pi } { 4 } + k 2 \pi } \\{ \mathrm { x } - \frac { \pi } { 4 } = \frac { 3 \pi } { 4 } + k 2 \pi \Leftrightarrow } \\{ \mathrm { x } - \frac { \pi } { 4 } = k \pi }\end{array} \left[\begin{array}{c}\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\\mathrm{x}=\pi+k 2 \pi(\mathrm{k} \in Z) \\x=\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\right. \\\end{array}\]

3. Bài tập vận dụng

Bài 1. Giải phương trình: \(2 \sin 2 x-3 \sqrt{3}(\sin x+\cos x)+5=0\).

Bài 2. Giải phương trình: \(\sin x \cos x-\sqrt{2}(\sin x+\cos x)+1=0\).

Bài 3. Giải phương trình: \(\sin x+\cos x-4 \sin x \cdot \cos x-1=0\).

Bài 4. Giải phương trình: \(\sin x \cdot \cos x=6(\sin x-\cos x)-1\).

Bài 5. Giải phương trình:

а) \(2 \sqrt{2}(\sin x-\cos x)=3-\sin 2 x\);

b) \((1-\sqrt{2})(1+\sin x-\cos x)=\sin 2 x\);

c) \(2(\sin x+\cos x)+6 \sin x \cdot \cos x-2=0\);

d) \(\sin x-\cos x=2 \sqrt{6} \sin x \cdot \cos x\).

Bài 6. Giải phương trình: \(1+\tan x=2 \sqrt{2} \sin x\).

Bài 7. Cho phương trình: \(m(\sin x+\cos x)+\sin 2 x+m-1=0\) (1).

a) Giải phương trình với \(\mathrm{m}=2\).

b) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.

Bài 8. Giải phương trình: \(6(\sin x-\cos x)+\sin x \cdot \cos x+6=0\).

Bài 9. Giải phương trình: \(\cos x+\frac{1}{\cos x}+\sin x+\frac{1}{\sin x}=\frac{10}{3}\).

Bài 10. Cho phương trình: \(\sin ^{3} x-\cos ^{3} x=m(1)\).

a) Giải phương trình với \(\mathrm{m}=1\).

b) Tìm \(\mathrm{m}\) để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc \([0 ; \pi]\).

4. Học tập mỗi ngày cùng Examon

Như vậy, Examon đã tổng hợp song tất tần tật từ lý thuyết, phương pháp giải, ví dụ minh họa và cả bài tập áp dụng về dạng giải phương trình lượng giác. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể áp dụng và trong quá trình làm bài của mình và đạt được kết quả mong đợi. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều kiến thức mới mỗi ngày.

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.