Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích

1. Phương pháp giải

+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng...

+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: \(\mathrm{A} . \mathrm{B}=0 \quad \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}A=0 \\ B=0\end{array}\right.\)

Giải từng phương trình \(\mathrm{A}=0 ; \mathrm{B}=0\)

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Giải phương trình \(1+\cos x+\cos ^{2} x+\cos 3 x-\sin ^{2} x=0\)

A. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=k \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=\pi+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=\pi+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{6}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=k 2 \pi\end{array}\right.\)

Lời giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}1+\cos x+\cos ^{2} x+\cos 3 x-\sin ^{2} x=0 \\ \Rightarrow\left(1-\sin ^{2} x\right)+\cos ^{2} x+(\cos x+\cos 3 x)=0 \\ \Rightarrow \cos ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \cdot \cos 2 x \cdot \cos x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos ^{2} x+2 \cos 2 x \cdot \cos x=0 \\ \Rightarrow 2 \cos x \cdot(\cos x+\cos 2 x)=0\end{array}\)

Nên

\(\begin{array}{l}\text { }\left[\begin{array}{c}\cos x=0 \\ \cos x=-\cos 2 x\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ \cos x=\cos (\pi-2 x)\end{array}\right.\right. \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\pi-2 x+k 2 \pi \\ x=2 x-\pi+k 2 \pi\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+\frac{k 2 \pi}{3} \\ x=\pi-k 2 \pi\end{array}\right.\right.\end{array}\)

Chọn B

2.2 Ví dụ 2

Phương trình \(\sin 3 x-4 \sin x\). \(\cos 2 x=0\) có các nghiệm là:

A. \(x=k 2 \pi\)

B. \(x=\pi / 2+k \pi\)

C. \(x=k \pi\)

D. \(x=\pi / 2+k 2 \pi\)

Lời giải

Ta có

\[\begin{array}{l}\text { } \sin 3 x-4 \sin x . \cos 2 x=0 \\\Rightarrow \sin 3 x-2[\sin 3 x+\sin (-x)]=0 \\\Rightarrow \sin 3 x-2 \sin 3 x+2 \sin x=0 \text { ( do } \sin (-x)=-\sin x \text { ) } \\\Rightarrow 2 \sin x=-\sin 3 x \\\Rightarrow 2 \sin x=4 \sin ^{3} x-3 \sin x \\\Rightarrow 2 \sin \mathrm{x}-4 \sin ^{3} \mathrm{x}+3 \sin \mathrm{x}=0 \\\Rightarrow 5 \sin \mathrm{x}-4 \sin ^{3} \mathrm{x}=0 \\\Rightarrow \sin x(5-4 \sin 2 x)=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { \operatorname { s i n } x = 0 } \\{ 5 - 4 \operatorname { s i n } ^ { 2 } x = 0 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=k \pi \\\left.\sin ^{2} x=\frac{5}{4}\gt 1 \text { (L } \right)\end{array}\right.\right. \\\end{array}\]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x=k \pi\)

Chọn C.

3. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình \(\sin 2 x .(\cot x+\tan 2 x)=4 \cos ^{2} x\)

A. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{3}+k \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=k \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{6}+k \pi\end{array}\right.\)

Câu 2:Giải phương trình: \(\cos ^{3} x-\sin ^{3} x=1-2 \sin ^{2} x\)

A. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{-\pi}{4}+k 2 \pi \\ x=k 2 \pi \\ x=-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{4}+k 2 \pi \\ x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

Câu 3:Giải phương trình: \(1+\sin x+\cos x+\tan x=0\)

A. \(\left[\begin{array}{c}x=\pi+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{l}x=\pi+k 2 \pi \\ x=\frac{-\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=k \pi \\ x=\frac{-\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c}x=k \pi \\ x=\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}\right.\)

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình \(2 \sin 2 x-2 \sin x=\cot x-1\).

A. \(\mathrm{x}=x=\frac{\pi}{4}+\arcsin \frac{\sqrt{10}}{4}+k 2 \pi\)

B. \(x=x=\frac{\pi}{2}+\arcsin \frac{3}{4}+k 2 \pi\)

C. \(x=x=\frac{\pi}{4}+\arcsin \frac{\sqrt{5}}{4}+k 2 \pi\)

D .Tất cả sai

Câu 5:Giải phương trình \(\sin ^{3} x+\cos ^{3} x=2 \sin ^{5} x+2 \cos ^{5} x\).

A. \(\mathrm{x}=\frac{\pi}{4}+k \pi\)

B. \(\mathrm{X}=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}\)

C. \(\mathrm{X}=\frac{\pi}{2}+\frac{k \pi}{2}\)

D. \(\mathrm{X}=\frac{\pi}{2}+\frac{k \pi}{4}\)

Câu 6:Giải phương trình: \(\tan x+\tan 2 x=-\sin 3 x \cdot \cos 2 x\)

A. \(x=k \pi / 6\)

B. \(x=k \pi / 4\)

C. \(x=k \pi / 3\)

D. Cả \(A\) và \(B\) đúng

Câu 7:Giải phương trình \(\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan ^{2} x-\cos ^{2} \frac{x}{2}=0\)

A. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi \\ x=\frac{-\pi}{4}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{6}+k 2 \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=\pi+k 2 \pi \\ x=\frac{-\pi}{2}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{c}x=\pi+k 2 \pi \\ x=\frac{-\pi}{4}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

Câu 7:Phương trình \(2 \sqrt{2} \cdot \sin 5 x \cdot \cos 3 x=\sin 4 x+2 \sqrt{2} \sin 3 x\). \(\cos 5 x\) có nghiệm là:

A. \(x=k \pi / 2\)

B. \(x=k \pi\)

C. \(\frac{\pi}{2}+k \pi\)

D. \(\frac{\pi}{4}+k 2 \pi\)

Câu 8:Giải phương trình \(\cos x-\sin x=\sin 2 x-2 \cos ^{2} x\) :

A. \(\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

B. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x=-\frac{\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

C. \(\left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

D. \(\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi}{4}+k \pi \\ x= \pm \frac{\pi}{3}+k 2 \pi\end{array}\right.\)

Câu 9: Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: \(\sin 2 x+\sin ^{2} 2 x+\sin ^{2} 3 x=2\) là.

\[\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} \\x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3} \\x=\frac{\pi}{2}+k \pi\end{array}\right.\]

A. \(\mathrm{X}=\frac{\pi}{3}+\frac{k \pi}{2}\)

B. \(x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{3}\)

C. \(x=\frac{\pi}{2}+k \pi\)

D. \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}\)

Câu 10:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

\(\frac{1-\cos 2 x}{2}-\sin ^{2} 2 \mathrm{x}=\sin ^{2} 3 \mathrm{x}\)

A. \(x=\frac{-\pi}{6}\)

B. \(x=\frac{-\pi}{3}\)

C. \(x=\frac{-\pi}{4}\)

D. \(x=\frac{-2 \pi}{3}\)

4. Học tập hiệu quả cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: phương pháp giải, ví dụ, bài tập củng cố về Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!