Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

1. Phương pháp giải

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và cosx là phương trình có dạng \(f(\sin x, \cos x)=0\) trong đó luỹ thừa của \(\sin x\) và cos \(x\) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét \(\cos x=0\) xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét \(\cos x \neq 0\).

Chia hai vế phương trình cho \(\cos ^{k} x\) ( \(k\) là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan \(x\).

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với \(\sin x\).

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Giải phương trình sau:

\(3 \sin ^{2} x+8 \sin x \cdot \cos x+(8 \sqrt{3}-9) \cos ^{2} x=0\)

Lời giải chi tiết

\(3 \sin ^{2} x+8 \sin x \cdot \cos x+(8 \sqrt{3}-9) \cos ^{2} x=0\) (1)

Xét \(\cos x=0 \Rightarrow \sin ^{2} x=1\). Ta có (1) \(\Leftrightarrow 3=0\) (vô lý)

Xét \(\cos x \neq 0\).

Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{2} x\).

Ta được :(1) \(\Leftrightarrow 3 \tan ^{2} x+8 \tan x+(8 \sqrt{3}-9)=0\)

\[\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \operatorname { t a n } x = - \sqrt { 3 } } \\{ \operatorname { t a n } x = \frac { 3 \sqrt { 3 } - 8 } { 3 } }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi}{3}+k \pi \\x=\arctan \left(\frac{3 \sqrt{3}-8}{3}\right)+k \pi\end{array}(k \in Z)\right.\right.\]

2.2 Ví dụ 2

Giải phương trình sau:

\(\sin ^{3} x+2 \sin x \cdot \cos ^{2} x+3 \cos ^{3} x=0\)

Lời giải chi tiết

\(\sin ^{3} x+2 \sin x \cdot \cos ^{2} x+3 \cos ^{3} x=0\) (2)

Xét \(\cos x=0\). Ta có \((2) \Leftrightarrow \sin x=0\) (vô lí do \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\) )

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{3} x\). Ta được :

\[\begin{array}{l}\text { (2) } \Leftrightarrow \tan ^{3} x+2 \tan x+3=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array}{c}\tan x=-1 \\\tan ^{2} x-\tan x+3=0 \text { (vô nghiệm) }\end{array}\right. \\\Leftrightarrow x=-\pi / 4+k \pi(k \in Z) \\\end{array}\]

2.3 Ví dụ 3

Tìm \(m\) để phương trình \((m+1) \sin ^{2} x-\sin 2 x+2 \cos ^{2} x=0\) có nghiệm.

Lời giải:

Xét \(\cos x=0\). Ta có \(:(m+1) \sin ^{2} x=0 \Leftrightarrow m=-1\)

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{2} x\).

Ta được :

\[\begin{array}{l}(m+1) \tan ^{2} x-2 \tan x+2=0 \\\Delta^{\prime}=1-2 m-2=-2 m-1\end{array}\]

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow-2 m-1 \geq 0 \Leftrightarrow m \leq-1 / 2\)

Vậy với \(m \leq-1 / 2\) thì pt đã cho có nghiệm

3. Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình \(\sin ^{2} x-(\sqrt{3}+1) \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos ^{2} x=0\)

Lời giải:

\[\sin ^{2} x-(\sqrt{3}+1) \sin x \cos x+\sqrt{3} \cos ^{2} x=0\]

Xét \(\cos x=0\). (1) \(\sin ^{2} x=0 \rightarrow\) vô lý

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{2} x\). Ta được :

\[\text { (1) } \begin{aligned}& \tan ^{2} x-(\sqrt{3}+1) \tan x+\sqrt{3}=0 \\& \Leftrightarrow\left[\begin{array} { c } { \operatorname { t a n } x = \sqrt { 3 } } \\{ \operatorname { t a n } x = 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi}{3}+k \pi \\x=\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array}(k \in Z)\right.\right.\end{aligned}\]

Bài 2: Giải phương trình: \(2 \cos ^{2} x-3 \sin x \cos x+\sin ^{2} x=0\)

Lời giải:

Xét \(\cos x=0\).

Ta có \(\cdot \sin ^{2} x=0 \rightarrow\) vô lý

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{2} x\). Ta được :

\[\begin{array}{l}2 \text { - } 3 \tan x+\tan ^{2} x=0 \\\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \operatorname { t a n } x = 2 } \\{ \operatorname { t a n } x = 1 }\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{c}x=\arctan 2+k \pi \\x=\frac{\pi}{4}+k \pi\end{array} \quad(k \in Z)\right.\right.\end{array}\]

Bài 3 : Tìm điều kiện để phương trình \(a \cdot \sin ^{2} x+a \cdot \sin x \cos x+b \cdot \cos ^{2} x=0\) với \(a \neq 0\) có nghiệm.

Lời giải:

Xét \(\cos x \neq 0\). Chia cả hai vế của pt cho \(\cos ^{2} x\).

Ta được :\(a \tan ^{2} \mathrm{x}+\mathrm{atan} \mathrm{x}+\mathrm{b}=0\)

\(\Delta=a^{2}-4 a b\)

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow \Delta^{\prime} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2}-4 a b \geq 0 \Leftrightarrow a-4 b \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 4 b\)

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình: \(2 \cos ^{2} x-3 \sin 2 x+\sin ^{2} x=1\).

Bài 2. Giải phương trình: \(\sin ^{2} x-3 \sin x \cos x+2 \cos ^{2} x=0\).

Bài 3. Giải các phương trình:

a) \(\cos ^{2} x-\sqrt{3} \sin 2 x=1+\sin ^{2} x\);

b) \(3 \sin ^{2} x+4 \sin x \cos x+5 \cos ^{2} x=6\);

c) \(\cos ^{3} x-4 \sin ^{3} x-3 \cos x \sin ^{2} x+\sin x=0\);

d) \(\cot \mathrm{x}-1=\frac{\cos 2 x}{1+\tan x}+\sin ^{2} x-\frac{1}{2} \sin 2 x\).

Bài 4. Giải các phương trình:

a) \(\sin 3 x+\cos 3 x+2 \cos x=0\);

b) \(\tan ^{2} x=\frac{1-\cos ^{3} x}{1-\sin ^{3} x}\);

c) \(\sin x \cdot \sin 2 x+\sin 3 x=6 \cos ^{3} x\);

d) \(3 \tan ^{2} x+4 \tan x+4 \cot x+3 \cot ^{2} x+2=0\)

Bài 5. Giải các phương trình:

a) \(\sin ^{2} x(\tan x+1)=3 \sin x(\cos x-\sin x)+3\);

b) \(1+\tan x=2 \sqrt{2} \sin x\);

c) \(\sqrt{3} \sin ^{2} x+(1-\sqrt{3}) \sin x \cdot \cos x-\cos ^{2} x=\sqrt{3}-1\);

d) \(\sin ^{3} x-5 \sin ^{2} x \cos x-3 \sin x \cos ^{2} x+3 \cos ^{3} x=0\).

5. Mỗi ngày một kiến thức mới cùng Examon

Qua bài viết, Examon đã giới thiệu cho các bạn về phương pháp giải, ví dụ minh họa cũng như bài tập củng cố về phần Cách giải phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác. Examon tin rằng sau khi các bạn đọc song và làm được các bài tập trên thì các bạn đã nắm vững được 90% kiến thức. Theo dõi Examon để biết thêm nhiều dạng bài tập mới về lượng giác nhé!

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!