Các kỹ thuật tìm nguyên hàm cho hàm số phức tạp
Tìm nguyên hàm cho các hàm số phức tạp đòi hỏi cần phải sử dụng nhiều kỹ thuật khác nhau. Sau đây là một số kĩ thuật phổ biến và bài tập minh họa.
Mục lục bài viết
Đòi hỏi kỹ năng linh hoạt và ứng biến với các dạng bài tập khác nhau của phần Nguyên hàm hàm số. Chúng mình nghĩ bạn cần có cho mình một số kỹ thuật để bỏ túi. Chắc chắn bạn sẽ cảm thấy hữu ích trong quá trình học và ngay khi chuẩn bị cho các kì thi gay go nữa đấy ! Cùng khám phá nguyên hàm hàm số nhe.
1. Phương pháp thay đổi biến
Phương pháp thay đổi biến thường được sử dụng để đơn giản hóa hàm số trước khi tìm một nguyên hàm bất kì.
Vd: Tìm nguyên hàm của \(\int x e^{x^{2}} d x\).
Giải:
Đặt \(u=x^{2}\)
=> \(d u=2 x d x\) hay \(d x=\frac{d u}{2 x}\).
Do đó, tích phân trở thành:
\(\int x e^{x^{2}} dx = \int x e^{u} \cdot \frac{d u}{2 x}\)
\(=\frac{1}{2} \int e^{u} d u=\frac{1}{2} e^{u}+C=\frac{1}{2} e^{x^{2}}+C\)
2. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp này được sử dụng cho tích phân của tích hai hàm số, được dựa trên công thức sau:
\[\int u d v=u v-\int v d u\]Vd: Tìm nguyên hàm của \(\int x \ln (x) d x\).
Giải:
Chọn \(u=\ln (x)\) và \(d v=x d x\).
Khi đó:
\[d u=\frac{1}{x} d x \quad \text { và } \quad v=\frac{x^{2}}{2}\]Áp dung công thức tích phân từnq phần:
\(\int x \ln (x) d x=\ln (x) \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x\)
\(=\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{1}{2} \int x d x\)
\(=\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}+C\)
\(=\frac{x^{2} \ln (x)}{2}-\frac{x^{2}}{4}+C\)
3. Phương pháp tách phân thức
Kỹ thuật này áp dụng cho các hàm phân thức bằng cách phân tích phân thức thành các phần đơn giản hơn.
Vd: Tìm nguyên hàm của \(\int \frac{1}{(x-1)(x+2)} d x\).
Giải:
Phân tích phân thức:
\[\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}\]Giải hệ phương trình để tìm \(A\) và \(B\) :
\[1=A(x+2)+B(x-1)\]Khi \(x=1\) :
\[1=A(1+2) \Rightarrow A=\frac{1}{3}\]Khi \(x=-2\) :
\[1=B(-2-1) \Rightarrow B=-\frac{1}{3}\]Do đó:
\[\frac{1}{(x-1)(x+2)}=\frac{1 / 3}{x-1}-\frac{1 / 3}{x+2}\]Tính nguyên hàm:
\(\int \frac{1}{(x-1)(x+2)} d x\)
\(=\frac{1}{3} \int \frac{1}{x-1} d x-\frac{1}{3} \int \frac{1}{x+2} d x\)
\(=\frac{1}{3} \ln |x-1|-\frac{1}{3} \ln |x+2|+C\)
\(=\frac{1}{3} \ln \left|\frac{x-1}{x+2}\right|+C\)
4. Phương pháp tích phân hữu tỉ và số phức
Vd: Tìm nguyên hàm của \(\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1} d x\).
Giải:
Chia phân thức:
\[\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=1-\frac{1}{x^{2}+1}\]Do đó:
\(\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1} d x=\int 1 d x-\int \frac{1}{x^{2}+1} d x\)
\(=x-\arctan (x)+C\)
5. Phương pháp tích phân bằng cách biến đổi hàm
Kỹ thuật này đôi khi yêu cầu biến đổi hoặc biểu diễn lại hàm để có thể áp dụng các phương pháp đã biết.
Vd: Tìm nguyên hàm của \(\int e^{x^{2}} \cdot 2 x d x\).
Giải:
Nhận thấy rằng \(\frac{d}{d x}\left(x^{2}\right)=2 x\)
=> ta đặt \(u=x^{2}\) thì \(d u=2 x d x\).
Do đó:
\[\int e^{x^{2}} \cdot 2 x d x=\int e^{u} d u=e^{u}+C=e^{x^{2}}+C\]Cùng AI Examon - học tốt thi tốt
Tổng kết
Mỗi kỹ thuật tìm nguyên hàm có ứng dụng riêng và phù hợp với các loại hàm số khác nhau. Việc chọn đúng phương pháp và thực hiện đúng các bước là rất quan trọng để tìm được kết quả chính xác.
Khi gặp các hàm số phức tạp, việc hiểu và vận dụng linh hoạt các kỹ thuật trên sẽ giúp giải quyết các bài toán hiệu quả
Học hiệu quả với AI Examon
Việc đi học thêm 1 lớp có 30 học sinh nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đểu có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TíCH PHÂN yếu XÁC SUẤT.
Như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) thời gian tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.
Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư Al sẽ giúp học sinh có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIÊM SỐ nhanh \(200 \%\)
Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống để thi Examon.
Gia sư Al sẽ NOTE tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống thiết kế lưu trữ dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các để xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân riêng biết và giúp rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.