Các dạng toán ứng dụng của TÍCH PHÂN

Đặt vấn đề : Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) (liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) và trục \(O x\)

Phương pháp giải : 

• Bước 1: Giả sử \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S=\int_{a}^{b}|f(x)| d x\).
• Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f(x)\) trên \([a ; b]\). Từ đó phân được đoạn \([a ; b]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \([a ; b]=\left[a ; c_{1}\right] \cup\left[c_{1} ; c_{2}\right] \cup \ldots \cup\left[c_{k} ; b\right]\) mà trên mỗi đoạn \(f(x)\) chỉ có một dấu.
• Bước 3: Khi đó: \(S=\int_{a}^{c_{1}}|f(x)| d x+\int_{c_{1}}^{c_{2}}|f(x)| d x+\ldots+\int_{c_{k}}^{b}|f(x)| d x\).

Chú ý : Nếu bài toán phát biểu dạng: "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=f(y)\) (liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ) hai đường thẳng \(y=a, y=b\) và trục \(O y\) ", khi đó công thức tính diện tích tương tự như sau : 

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=-x^{2}+3 x-2\) và trục hoành.

Lời giải

Ta có :

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-x^{2}+3 x-2\) và trục hoành là:

\(-x^{2}+3 x-2=0 \Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x=2\).

Khi đó: 

\(S=\int_{1}^{2}\left|-x^{2}+3 x-2\right| d x=\int_{1}^{2}\left(-x^{2}+3 x-2\right) d x=\left.\left(-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}-2 x\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{1}{6}\).

Đặt vấn đề : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\) hai đường thẳng \(x=a, x=b\)

Phương pháp giải : 

• Bước 1: Giả sử \(S\) là diện tích cần xác định, ta có: \(S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)| d x\)
• Bước 2: Xét dấu biểu thức \(f(x)-g(x)\) trên \([a ; b]\). Từ đó phân được đoạn \([a, b]\) thành các đoạn nhỏ, giả sử: \([a ; b]=\left[a ; c_{1}\right] \cup\left[c_{1} ; c_{2}\right] \cup \ldots \cup\left[c_{k} ; b\right]\) mà trên mỗi đoạn \(f(x)-g(x)\) chỉ có một dấu.
• Bước 3: Khi đó: \(S=I=\int_{a}^{c_{1}}|f(x)-g(x)| d x+\ldots+\int_{c_{k}}^{b}|f(x)-g(x)| d x\).

Chú ý : Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: "Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(x=f_{1}(y)\) và \(x=f_{2}(y)\) (liên tục trên đoạn \([a ; b]\) ) và hai đường thẳng \(y=a, y=b\) và trục \(O y\) ", khi đó công thức tính diện tích là: 

\(S=\int_{a}^{b}\left|f_{1}(y)-f_{2}(y)\right| d y\).

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y=4-x^{2}, y=-x+2\).

Lời giải

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình:

\(4-x^{2}=-x+2 \Leftrightarrow x^{2}-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1\) hoặc \(x=2\).

Khi đó: 

\(S=\int_{-1}^{2}\left|x^{2}-x-2\right| d x=-\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-x-2\right) d x=-\left.\left(\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-2 x\right)\right|_{-1} ^{2}=\frac{27}{6}\).

Phương pháp giải : 

Cắt một vật thể \(H\) bởi hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) vuông góc với trục \(O x\) lần lượt tại \(x=a, x=b(a\lt b)\). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với \(O x\) tại điểm \(x\) \((a \leq x \leq b)\) cắt \(H\) theo thiết diện có diện tích là \(S(x)\) . Giả sử \(S(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\).Thể tích \(V\) của phần vật thể \(H\) giới hạn bởi hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) được tính bởi công thức :

Ví dụ : Thể tích của phần vật thế giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(O x\) tại điểm có hoành độ \(x(0 \leq x \leq 3)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2 \sqrt{9-x^{2}}\) bằng:

Lời giải 

Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x ; 2 \sqrt{9-x^{2}}\) là \(2 x \sqrt{9-x^{2}}\).

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức 

\(V=\int_{0}^{3} 2 x \sqrt{9-x^{2}} d x\).

Đặt \(t=\sqrt{9-x^{2}} \Leftrightarrow t^{2}=9-x^{2} \Leftrightarrow x d x=-t d t\) và \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=3 \\ x=3 \Rightarrow t=0\end{array}\right.\). 

Suy ra \(V=-2 \int_{3}^{0} t^{2} d t=\left.\frac{2 t^{3}}{3}\right|_{0} ^{3}=18\).

Đặt vấn đề  : Thể tích khối chóp 

Khối chóp có chiều cao bằng \(h\) và diện tích đáy bằng \(B\).

Khi đó, thể tích \(V\) của khối chóp là

Đặt vấn đề  : Thể tích khối chóp cụt 

Khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh \(S\) có diện tích hai đáy lần lượt là \(B, B^{\prime}\) và chiều cao bằng \(h\).

Gọi \(V\) là thể tích của khối chóp cụt. Ta có 

Vì \(B^{\prime}=B \frac{a^{2}}{b^{2}}\) và \(h=b-a\) nên

Bài toán 1 : Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục \(\mathrm{Ox}\)

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền \(D\) được giới hạn bởi các đường \(y=f(x) ; y=0 ; x=\) \(\mathrm{a} ; \mathrm{x}=\mathrm{b}\) quanh trục \(O x\) được tính theo công thức : 

Chú ý : Nếu hình phẳng \(D\) được giới hạn bởi hai đường \(y=f(x) ; y=g(x)\) và hai đường \(x=a ; x=b\) (với \(f(x) . g(x) \geq 0, \forall x \in[a ; b])\) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay \(\mathrm{D}\) quanh trục \(\mathrm{Ox}\) được tính bởi công thức: 

\(V=\pi \int_{a}^{b}\left|f^{2}(x)-g^{2}(x)\right| \mathrm{d} x\).

Bài toán 2 : Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục \(\mathrm{Oy}\)

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng \(D\) giới hạn bởi các đường \(x=g(y)\), trục tung và hai đường \(\mathrm{y}=\mathrm{a} ; \mathrm{y}=\mathrm{b}\) quanh trục Oy được tính theo công thức :

\(V=\pi \int_{a}^{b} g^{2}(y) \mathrm{d} y\)

Ví dụ : Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \sin{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0 , x = \pi\) .Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục \(O x\).

Lời giải

Áp dụng công thức , ta có

\(\begin{aligned} V & =\pi \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi}(1-\cos 2 x) \mathrm{d} x \\ & =\left.\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)\right|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi^{2}}{2} .\end{aligned}\)