Các dạng toán cấp số nhân

Phương pháp giải:

- Dãy số \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân khi và chỉ khi \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=q\) không phụ thuộc vào n và q là công bội của cấp số nhân đó.

- Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Ta thiết lập một hệ phương trình hai ẩn \(u_{1}\) và q. Tìm \(u_{1}\) và \(q\).

- Tìm số hạng thứ n dựa vào công thức tổng quát: \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{-1}\) hoặc công thức truy hồi \(u_{n}=u_{n-1} \cdot q\).

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân. Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng đầu tiên và công bội:

а) \(1 ;-2 ; 4 ;-8 ; 16 ;-32 ; 64\)

b) Dãy \(\left(u_{n}\right): u_{n}=n .6^{n+1}\)

c) Dãy \(\left(v_{n}\right): v_{n}=(-1)^{n} \cdot 3^{2 n}\).

Lời giảia) Ta thấy \(\frac{-2}{1}=\frac{4}{-2}=\frac{-8}{4}=\frac{16}{-8}=\frac{-32}{16}=\frac{64}{-32}=-2\)

Nên dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên là \(u_{1}=1\) và công bội \(q=-2\).

b) Ta có: \(u_{n}=n \cdot 6^{n+1}\) thì \(u_{n+1}=(n+1) \cdot 6^{n+2}\)

Xét \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{(n+1) 6^{n+2}}{n .6^{n+1}}=\frac{6(n+1)}{n}\) phụ thuộc vào \(\mathrm{n}\)

Nên dãy số trên không là cấp số nhân.

c) Ta có: \(v_{n}=(-1)^{n} \cdot 3^{2 n}\) thì \(v_{n+1}=(-1)^{n+1} \cdot 3^{2(n+1)}\)

Xét \(\frac{v_{n+1}}{v_{n}}=\frac{(-1)^{n+1} 3^{2 n+2}}{(-1)^{n} 3^{2 n}}=(-1) \cdot 3^{2}=-9\) không đổi.

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với số hạng đầu tiên \(u_{1}=(-1)^{1} \cdot 3^{2 \cdot 1}=-9\) và công bội \(q=-9\).

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) thỏa mãn: \(\left\{\begin{array}{l}u_{1}+u_{5}=51 \\ u_{2}+u_{6}=102\end{array}\right.\)

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên.

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên.

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên.

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân.

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho. 

Theo đề bài, ta có

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được \(q=2\).

Suy ra \(u_{1}=\frac{51}{1+q^{4}}=\frac{51}{1+2^{4}}=3\)

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là \(u_{1}=3\) và công bội q = 2 .

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là \(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) nên \(u_{n}=3 \cdot 2^{n-1}\).

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: \(u_{15}=3.2^{14}=49152\).

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Ba số hạng \(u_{k-1} ; u_{k} ; u_{k+1}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi và chỉ khi \(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1}\).

Ví dụ 1: Tìm x sao cho các số \(1 ; x^{2} ; 6-x^{2}\) lập thành cấp số nhân.

Lời giảiTa có: \(1 ; x^{2} ; 6-x^{2}\) lập thành cấp số nhân

Vậy \(x= \pm \sqrt{2}\) thì các số trên lập thành cấp số nhân.

Ví dụ 2: Các số \(5 x-y ; 2 x+3 y ; x+2 y\) lập thành cấp số cộng; các số \((y+1)^{2} ; x y\) +1 ; \((x-1)^{2}\) lập thành cấp số nhân. Tìm \(x\) và \(y\).

Lời giảiTa có các số \(5 x-y, 2 x+3 y, x+2 y\) lập thành cấp số cộng

Các số \((y+1)^{2} ; x y+1 ;(x-1)^{2}\) lập thành cấp số nhân

Thay (1) vào (2) ta được:

Phương pháp giải:

Tổng \(n\) số hạng đầu tiên \(S_{n}\) được xác định bởi công thức:

Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1} ; u_{1} ; u_{1} ; \ldots u_{1} ; \ldots\) khi đó \(S_{n}=\) n.u \(u_{1}\).

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân ( \(u_{n}\) )

a) \(\left(u_{n}\right)\) có số hạng tổng quát là: \(u_{n}=2 \cdot(-3)^{k}\). Tính \(S_{15}\).

b) ( \(u_{n}\) ) có số hạng đầu là 18 , số hạng thứ hai kia là 54 , số hạng cuối bằng 39366. Tính tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân.

Lời giải

a) ( \(u_{n}\) ) có số hạng tổng quát là: \(u_{n}=2 \cdot(-3)^{k}\) thì \(u_{1}=2\) và \(q=-3\)Tổng 15 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

b) Số hạng đầu tiên \(\mathrm{u}_{1}=18\)

Số hạng thứ hai \(u_{2}=54 \Rightarrow u_{1} q=54 \Rightarrow q=3\)

Số hạng cuối \(u_{n}=39366\)

Vậy \(\mathrm{S}_{8}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{18 \cdot\left(1-3^{8}\right)}{1-3}=59040\)