Các dạng tích phân từng phần và phương pháp giải
Cùng tìm hiểu các dạng tích phân từng phần và phương pháp giải nhé!
Mục lục bài viết
Trong thế giới phong phú và đầy thử thách của toán học, tích phân luôn là một lĩnh vực đòi hỏi sự tinh thông và sáng tạo. Đặc biệt, tích phân từng phần - một kỹ thuật vô cùng hữu ích và phổ biến, giúp chúng ta tiếp cận và giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách hiệu quả. Bài viết này của Examon sẽ cùng các bạn khám phá để hiểu sâu hơn về công cụ mạnh mẽ này.
1. Công thức tích phân từng phần
\(\int_{a}^{b} u \left( x \right ) v^{'} \left( x \right ) dx = \left[ u \left( x \right ) v \left( x \right ) \right ] |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \left( x \right ) u^{'} \left( x \right ) dx .\)
Viết gọn: \(\int_{a}^{b} u d v = \left( u v \right ) |_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u\)
2. Phương pháp chung
Bước 1: Biến đổi \(I=\int_{a}^{1} f_{1}(x) \cdot f_{2}(x) \mathrm{d} x\)
Bước 2: Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=f_{1}(x) \\ d v=f_{2}(x) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=f_{1}^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ v=\int f_{2}(x) \mathrm{d} x\end{array}\right.\right.\)
Bước 3: Khi đó \(I=\left.(u v)\right|_{a} ^{j}-\int_{a}^{b} v \mathrm{~d} u\)
3. Các dạng toán và phương pháp đặt
3.1. Dạng 1
\(I=\int P(x) \sin (a x+b) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=\sin (a x+b) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x \\ v=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)\end{array}\right.\right.\).
3.2. Dạng 2
\(I=\int P(x) \cos (a x+b) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=\cos (a x+b) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{a} \sin (a x+b)\end{array}\right.\right.\).
3.3. Dạng 3
\(I=\int P(x) e^{a x+b} \mathrm{~d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ \mathrm{d} v=e^{a x+b} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=P^{\prime}(x) \cdot \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{a} e^{a x+b}\end{array}\right.\right.\).
3.4. Dạng 4
\(I=\int P(x) \ln f(x) \mathrm{d} x\), trong đó \(P(x)\) là đa thức.
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln f(x) \\ \mathrm{d} v=P(x) \mathrm{d} x\end{array}\right.\).
3.5. Dạng 5
\(I=\int\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] e^{x} \mathrm{~d} x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] . \\ \mathrm{d} v=e^{x} \mathrm{~d} x\end{array}\right.\)
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1: Tính tích phân từng phần : \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(2 x+3) \sin 4 x d x\)
Lời giải
Ta có :
Đặt: \(\left\{\begin{array}{l}u=2 x+3 \\ d v=\sin 4 x . d x\end{array}\right.\) suy ra \(\left\{\begin{array}{l}d u=2 . d x \\ v=-\frac{1}{4} \cos 4 x . d x\end{array}\right.\)
\[\begin{array}{l}\Rightarrow I=\left(-\frac{1}{4}(2 x+3) \cos 4 x\right)|_{0}^{\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 4 x \cdot d x \\=\left(-\frac{1}{4}(2 x+3) \cos 4 x+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sin 4 x\right)|_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\\quad=\frac{\pi}{8}+\frac{3}{2}\end{array}\]4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x\)
Lời giải
Đặt \(u=x \Rightarrow d u=d x\)
\[d v=e^{-2 x} d x \Rightarrow v=-\frac{1}{2} e^{-2 x}\]Ta có :
\[\begin{array}{l}\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x=-\left.\frac{x}{2} e^{-2 x}\right|_{0} ^{1}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-2 x} d x \\-\frac{x}{2} e^{-2 x}\left|\begin{array}{l}1 \\0\end{array}-\frac{1}{4} e^{-2 x}\right| \begin{array}{l}1 \\0\end{array}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{3}{e^{2}}\right) \\\end{array}\]\(\Rightarrow I=\frac{e^{2}-3}{4 e^{2}}\)
4.3. Bài tập 3
Bài 3 : Tính tích phân \(I=\int_{1}^{e} x \ln x \mathrm{~d} x\)
Lời giải
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln x \\ \mathrm{~d} v=x \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=\frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\ v=\frac{x^{2}}{2}\end{array}\right.\right.\)
Suy ra:
\[I=\left.\frac{x^{2}}{2} \ln x\right|_{1} ^{e}-\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{~d} x\]\(=\frac{e^{2}}{2}-\int_{1}^{\varepsilon} \frac{x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{e^{2}}{2}-\left.\frac{x^{2}}{4}\right|_{1} ^{e}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{4}\left(e^{2}-1\right)=\frac{e^{2}}{4}+\frac{1}{4} .\)
5. Hành trình chinh phục Toán cùng Examon
Như vậy, qua bài viết này chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu và khám phá các dạng tích phân từng phần cũng như những phương pháp giải hiệu quả. Từ các dạng toán và các bài tập minh họa chi tiết, hy vọng rằng các bạn đã có được cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về kỹ thuật tích phân từng phần. Hãy luôn nhớ rằng mỗi kiến thức mới là một bước tiến, mỗi thử thách vượt qua là một chiến thắng, và mỗi phương pháp học được là một công cụ quý giá cho hành trình chinh phục toán học.
Bạn có thể tham khảo phương pháp học tập hiệu quả của Examon.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!