Các dạng tích phân đặc biệt
Có một số dạng toán tích phân đặc biệt không thuộc bất kỳ loại tích phân nào như tích phân hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác,... Để Examon, cùng bạn tìm hiểu về nó nhé
Mục lục bài viết
Trong toán học, các dạng toán tích phân đặc biệt là một phần quan trọng của lĩnh vực tích phân. Các dạng toán tích phân đặc biệt đề cập đến các loại hàm hay các phương trình đặc biệt mà chúng ta không thể sử dụng các phương pháp giải đơn thuần để giải quyết. Vì vậy, bài viết này Examon sẽ nêu ra một số dạng toán điển hình cũng như phương pháp giải cho bài toán đó.
1. Dạng 1: Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm số
Công thức chung : \(\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x) d x\)
Phương pháp chung :
+) Nếu \(f(x)\) là hàm chã̃n
\[\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x) d x=2 \int_{0}^{\alpha} f(x) d x\]+) Nếu \(f(x)\) là hàm lẻ
\[\int_{-\alpha}^{\alpha} f(x) d x=0\]Ví dụ : Tính tích phân: \(I=\int_{-1 / 2}^{1 / 2} \cos x \cdot \ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right) d x\).
Lời giải:
Hàm số \(f(x)=\cos x \cdot \ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) có:
+ Liên tục trên \(\left[-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right]\).
+ Nhận xét:
\[\begin{array}{l}f(x)+f(-x)=\cos x \cdot \ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\cos (-x) \cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) . \\=\left[\ln \left(\frac{1-x}{1+x}\right)+\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right] \cos x=\ln 1 \cdot \cos x=0 . \\\Rightarrow f(-x)=-f(x) .\end{array}\]Vậy \(f(x)\) là hàm lẻ trên \(\left[-\frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right]\), do đó ta được \(I=0\).
2. Dang 2: Biểu thức dưới dấu tích phân là phân thức
Công thức chung : \(\int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x\)
Phương pháp giải :
Nếu \(f(x)\) liên tục, \(f(x)\) là hàm chẵn:
\[\int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{\infty}^{\alpha} f(x) d x\]Với \(\alpha \in R^{+}, 0\lt a \neq 1\)
Ví dụ : Tính tích phân sau : \(I_{}=\int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{2^{x}+1} d x\)
Lời giải :
Ta có \(f(x)=x^{4}\) là hàm chẵn
\(\begin{array}{l}I_{}=\int_{0}^{1} x^{4} d x \\ =\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{5}\end{array}\)
3. Dạng 3: Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm sin, cos
Công thức chung : \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\) hoặc \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\)
Phương pháp giải :
Nếu \(f(x)\) liên tục \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\]Ví dụ : Tính tích phân: \(I=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{n} x d x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x}\).
Lời giải :
Ta có \( \frac{\cos ^{n} x d x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x}\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\)
\(I=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{n} x d x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x}\) \(=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{n} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x\)
Do đó: \(2 I=\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{n} x+\sin ^{x} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x=\int_{0}^{\pi / 2} 1d x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow I=\frac{\pi}{4}\).
4. Dạng 4: Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng x.f(x)
Công thức chung : \(\int_{a}^{b} x \cdot f(x) d x\)
Phương pháp giải :
Nếu \(f(x)\) liên tục, \(f(x)=f(a+b-x)\) thì
\[\int_{a}^{b} x \cdot f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) d x\]Ví dụ : Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x d x}{4-\cos ^{2} x}\).
Lời giải
\[I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x d x}{4-\left(1-\sin ^{2} x\right)}=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x d x}{3+\sin ^{2} x}=\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x\]Đặt \(x=\pi-t \Rightarrow d x=-d t\).
Đổi cận: \(x=\pi \Rightarrow t=0, x=0 \Rightarrow t=\pi\).
Khi đó: \(I=-\int_{\pi}^{0} \frac{(\pi-t) \sin (\pi-t) d t}{4-\cos ^{2}(\pi-t)}=\int_{0}^{\pi} \frac{(\pi-t) \sin t d t}{4-\cos ^{2} t}=\int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin t d t}{4-\cos ^{2} t}-\int_{0}^{\pi} \frac{t \sin t d t}{4-\cos ^{2} t}\).
\[\begin{array}{l}=-\pi \int_{0}^{\pi} \frac{d(\cos t)}{4-\cos ^{2} t}-I \Leftrightarrow 2 I=-\pi \int_{0}^{\pi} \frac{d(\cos t)}{4-\cos ^{2} t}=\pi \int_{0}^{\pi} \frac{d(\cos t)}{\cos ^{2} t-4} \\\Leftrightarrow I=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{d(\cos t)}{\cos ^{2} t-4}=\left.\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\cos t-2}{\cos t+2}\right|\right|_{0} ^{\pi}=\frac{\pi \ln 9}{8}\end{array}\]
5. Dạng 5: Biểu thức dưới dấu tích phân là lũy thừa với số mũ n,m
Công thức chung : \(\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} d x, n \gg m\)
Phương pháp giải :
\(\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} d x, n \gg m\)
\[\int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} d x=\int_{0}^{1} x^{n}(1-x)^{m} d x\]Ví dụ : Tính: \(\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{100} d x\)
Lời giải :
\[\begin{array}{c}\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)^{100} d x=\int_{0}^{1} x^{100}(1-x)^{2} d x \\=\int_{0}^{1} x^{100}\left(1-2 x+x^{2}\right) d x \\=\int_{0}^{1}\left(x^{100}-2 x^{101}+x^{102}\right) d x\end{array}\]6. Phương pháp học đúng cách
Các dạng toán Examon nêu ở bên trên là dạng toán điển hình của phần tích phân đặc biệt. Mong rằng nó giúp ích cho các bạn học sinh có thể giải quyết được nhiều bài tích phân mà không thể dùng công thức, tính chất đơn giản. Chúc các bạn đạt được điểm cao trong bài kiểm tra cũng như đạt được điều mong muốn trong kì thi THPT Quốc Gia sắp tới
Đã bao giờ bạn tự hỏi rằng mình đã làm rất nhiều bài tập mà điểm kiểm tra không được cải thiện ?
Mình cũng đã từng đặt ra câu hỏi như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Vậy để học hiệu quả thì bạn nên làm những gì?
Đầu tiên cần thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? Tại sao lại sai? Trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
