Các dạng nguyên hàm thường gặp và cách học toán hiệu quảm

1. Dạng nguyên hàm thường gặp

1.1. 4 dạng thường xuất hiện trong đề thi

Dạng 1:

I = \(\int\) P(x) Ln(mx+n), trong đó P(x) là đa thức.

Theo quy tắc ta đặt:

u= Ln(mx+n) ; dv = P(x)dx

Dạng 2:

I = \(\int\) P(x) \(\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right] d x\), trong đó P(x) là đa thức

Theo quy tắc ta đặt :

u = P(x) ; dv = \(\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right]\) dx

Dạng 3:

I= \(\int\) P(x) \(e^{a x+b}\) dx, trong đó P(x) là đa thức

Theo quy tắc ta cho:

u = P(x) ; dv= \(a^{a x+b}\) dx

Dạng 4:

I= \(\int\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right]\)\(e^{x}\)dx

Theo quy tắc ta cho:

u = \(\left[\begin{array}{l}\sin x \\ \cos x\end{array}\right]\).; dv = \(e^{x}\)dx

1.2. . Một số bài tập thực chiến

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

I= \(\int\) x sinx dx

Giải : có 2 cách bạn có thể dùng

Cách 1: Đặt u= x ; sinx dx = dv <->

du = dx ; v = - cosx

I1 = \(\int\)xsinx dx = - xcosx + \(\int\)cosx dx

= -x cosx + sinx + C

Cách 2:

I1 = \(\int\)x sinx dx = \(\int\) -xd cosx dx + \(\int\) cosx dx = -x cosx + sin x + C

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của \(\int x\) \(\left(x^{2}+7\right)^{15}\) dx

( từ trường THPT An Lão Hải Phòng 2019 )

A. x^3 + C

B. -1/32 \(\left(x^{2}+7\right)^{16}\) + C

C. 1/16 \(\left(x^{2}+7\right)^{16}\) + C

D. 1/32 \(\left(x^{2}+7\right)^{16}\) + C

=> Đáp án D giải thích:

\(\int\)x \(\left(x^{2}+7\right)^{15}\) dx

= 1/2 \(\int\) \(\left(x^{2}+7\right)^{15}\) d( x^2 +7)

= 1/32 \(\left(x^{2}+7\right)^{16}\) + C

Ví dụ 3: ( THPT Hùng Vương Bình Phước 2019 )

Tìm họ nguyên hàm của hàm số F(x) = \(\frac{1}{2 x+3}\)

A. Ln | 2x + 3 | + C

B. 1/2 Ln | 2x + 3 | + C

C. \(\frac{1}{\ln 2}\) Ln | 2x + 3 | + C

D. 1/2 Lg ( 2x + 3 ) + C

=> Đáp án A

Ví dụ 4. (Chuyên Bắc Ninh 2019)

Nếu \(\int\) f(x) dx = 4x^3 + X^2 + C

thì hàm số f(x) bằng :

A. f(x) = 12x^2 + 2x + C

B. f(x) = 4x^2 + 2x^2

C. f(x) = 12x^2 + 2x

D. f(x) = X^4 + 2x + C

=> Đáp án C giải thích:

Có f(x) = (4x^3 + x^2 + C )' = 12x^2 + 2x

Ví dụ 5 : ( Liên trường THPT TP Vinh Nghệ An 2019 )

Tìm họ nguyên hàm của hàm số sau:

f(x) = 3x - sinx

A. \(\int\) f(x) dx = 3x^2 + cos x + C

B. \(\int\) f(x) dx = 4x^2 + cos x + C

C. \(\int\) f(x) dx = 3 - cosx + C

D. \(\int\) f(x) dx = 4x - cosx + C

Ví dụ 6: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x.\(e^{-x}\) thỏa F(0) = -1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F(x) + x+ 1= 0

A. S = -1

B. S= 0

C. S= -2

D. S =2

Đáp án A

Lời giải : Đặt u = X ; dv = \(e^{-x}\) dx

du = dx ; v = -\(e^{-x}\)

=> \(\int\) f(x) dx = -x \(e^{-x}\) + \(\int\)\(e^{-x}\) dx = -x\(e^{-x}\) - \(e^{-x}\) + C

Mà F(0) = -1 --> C - 1 = -1 --> C = 0

=> F(x) = -x\(e^{-x}\) - \(e^{-x}\)

Do đó F(x) + x + 1 = 0 <=> -x\(e^{-x}\) - \(e^{-x}\) + 1 = 0

<=> ( x + 1) ( 1 - \(e^{-x}\) ) = 0 <=> x = -1 và x = 0

Ví dụ 7: ( THPT chuyên Bến Tre 2017 )

Tìm nguyên hàm của f(x) = lnx

A. xLnx + C

B. x - Lnx + C

C. xLnx + x + C

D. xLnx - x + C

Giải:

Đặt u = Lnx ; dv = sinx dx

du= dx ; v= -cosx

=> \(\int\)xsinx dx = xLnx - \(\int\) dx = xLnx - x + C

=> Đáp án D

Ví dụ 8 : Cho F(x) = 2( x -1) \(e^{x}\) là một nguyên hàm của hàm số f'(x)\(e^{x}\) và f(0) = 0.

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)\(e^{x}\)

A. \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx = ( x^2 -2x + 1 )\(e^{x}\) + C

B. \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx = ( x^2 + 2x - 2)\(e^{x}\) + C

C. \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx= ( x^2 -2x + 2)\(e^{x}\) + C

D. \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx = (x^2 + 2x -1)\(e^{x}\) + C

Lời giải:

Đặt u= f(x) ; dv= \(e^{x}\) dx

du= f'(x)dx ; v = \(e^{x}\)

=> \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx= f(x)\(e^{x}\) - \(\int\)f'(x)\(e^{x}\)dx

Ta có F'(x) = f'(x)\(e^{x}\) <=> [ 2(x-1)\(e^{x}\)]' = f'(x)\(e^{x}\)

<=> 2x\(e^{x}\) = f'(x)\(e^{x}\) <=> f'(x) = 2x

Lại có f(x) = \(\int\)f'(x)dx = \(\int\)2x dx = x^2 + C mà

f(0) = 0 -> C = 0 => f(x) = x^2

Do đó \(\int\)f(x)\(e^{x}\) dx = x^2.\(e^{x}\) - 2(x-1)\(e^{x}\) + C

= ( x^2 -2x +2 )\(e^{x}\) + C

Vậy chọn C

2. Cách để làm tốt môn Toán

Học toán có thể trở nên thú vị và hiệu quả hơn nếu bạn sử dụng những phương pháp học tập phù hợp dưới đây. Dưới đây là những cách học toán được phân tích cụ thể dựa vào các bài tập cụ thể đã đính kèm theo.

1. Học qua ví dụ cụ thể

Còn được gọi là Example - Based Learning
Lợi ích: Học qua ví dụ cụ thể giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết vào thực tế. Việc này đặc biệt hữu ích khi bạn gặp phải các bài toán phức tạp hoặc chưa quen thuộc.
ví dụ: KHi học về phương trình bậc hai, hãy bắt đầu bằng cách giải một số ví dụ cụ thể như x^2 - 5x + 6 = 0. Từ đó bạn có thể thấy cách giải quyết từng bước một và sau đó hãy áp dụng phương pháp tương tự cho các bài toán khác.
tuy nhiên bạn cần có sự linh hoạt nếu áp dụng tương tự phương pháp này vào những bài khác bởi mỗi bài người ra đề sẽ cho những đặc điểm hoặc dấu hiệu giải bài khác nhau. Vì vậy có thể làm tương tự các bước hoặc giảm bớt hay thêm bớt tùy vào từng dạng bài.

2. Học qua giải quyết vấn đề ( Problem -Solving Approach )

Lợi ích : Phương pháp này giúp phát triển kỹ năng tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Khi bạn gặp một bài toán mới, việc thử giải nó từ nhiều góc độ khác nhau giúp bạn nắm vững các khái niệm và kỹ năng cần thiết.
ví dụ: Hãy thử giải các bài toán đố hoặc bài toán thực tế hơn như tính toán diện tích của một hình phức tạp hoặc xác định quãng đường di chuyển của một xe ô tô dựa trên các thông tin cho trước.

3. Học qua luyện tập và thực hành ( Practice and Repetition )

Lợi ích: Luyện tập thường xuyên giúp củng cố kiến thức và kỹ năng. Việc làm nhiều bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nhận ra các mẫu chung và cách giải quyết hiệu quả nhất.
Ví dụ: Sau khi học về tích phân, hãy thực hành bằng cách giải nhiều bài tập tích phân khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao.

4. Học qua việc giảng dạy lại ( Teachinh others )

Lợi ích: Khi bạn giải thích một khái niệm cho người khác, bạn sẽ phải hiểu rõ về nó trước. Điều này giúp bạn củng cố kiến thức của mình và phát hiện ra những điểm mà bạn chưa thực sự hiểu rõ.
Người hỏi bạn cũng sẽ nhìn được những khía cạnh mà họ chưa hiểu và hỏi bạn, bạn sẽ thấy như được suy nghĩ lại về những gì mình đã học, hoặc cái gì mình chưa nhận ra là mình chưa hiểu
Ví dụ: Hãy thử dạy một người bạn hoặc một em nhỏ về cách giải phương trình đơn giản hoặc về khái niệm hàm số cần được phân tích để hiểu rõ

3. Chinh phục Toán và các môn học khác cùng Examon

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn còn hay tìm kiếm và giải những bộ đề cũ kỹ, lỗi thờ trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất.

Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.

- Luyên tâp với các phươnq pháp làm bài tối ưu.

- Thành thạo kỹ năng giải đề, sã̃n sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề củaExamon:

- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thứ!!

- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.

- Bưởc 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một để thi phù hợp và bắt đầu luyện!

- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.

- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Hình màu vàng.png — Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát đến 99.9% đề tham khảo kì thi THPT QG năm 2024 của Examon ngay!