Các bài toán về hàm số lượng giác

• Phương pháp giải 

A. Với hàm số \(f(x)\) cho bởi biểu thức dại số thì ta có:

1. \(f(x)=\frac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}\), điều kiện: * \(f_{1}(x)\) có nghĩa

* \(f_{2}(x)\) có nghĩa và \(f_{2}(x) \neq 0\).

2. \(f(x)=\sqrt[2 m]{f_{1}(x)},(m \in \mathbb{N})\), điều kiện: \(f_{1}(x)\) có nghĩa và \(f_{1}(x) \geq 0\).

3. \(f(x)=\frac{f_{1}(x)}{\sqrt[2 m]{f_{2}(x)}},(m \in \mathbb{N})\), điều kiện: \(f_{1}(x), f_{2}(x)\) có nghĩa và \(f_{2}(x)\gt 0\).

B. Hàm số \(\boldsymbol{y}=\sin \boldsymbol{x} ; \boldsymbol{y}=\cos x\) xác định trên \(\mathbb{R}\), như vậy

\(y=\sin [u(x)] ; y=\cos [u(x)]\) xác định khi và chi khi \(u(x)\) xác định.

* \(y=\tan [u(x)]\) có nghĩa 

khi và chỉ khi \(u(x)\) xác định và \(u(x) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ; k \in \mathbb{Z}\).

* \(y=\cot [u(x)]\) có nghĩa 

khi và chỉ khi \(u(x)\) xác định và \(u(x) \neq+k \pi ; k \in \mathbb{Z}\).

Chú ý

Ở phần này chúng ta chi cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:

1. Hàm số \(y=\sin x\) và \(y=\cos x\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

2. Hàm số \(y=\tan x\) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

3. Hàm số \(y=\cot x\) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.

Với \(S \subset D_{f}\) (là tập xác định của hàm số \(f(x)\) ) thì\(* f(x) \leq m, \forall x \in S \Leftrightarrow \max _{S} f(x) \leq m .\)

\(* f(x) \geq m, \forall x \in S \Leftrightarrow \min _{S} f(x) \geq m\)

.\(* \exists x_{0} \in S, f\left(x_{0}\right) \leq m \Leftrightarrow \min _{S} f(x) \leq m\).

\(\exists x_{0} \in S, f\left(x_{0}\right) \geq m \Leftrightarrow \max _{S} f(x) \geq m\)

• Phương pháp giải:

Định nghĩa: Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\) được gọi là hàm số tuấn hoàn nếu có số \(T \neq 0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x+T)=f(x)\).

Nếu có số \(T\) dương nhỏ \(\boldsymbol{n h a ̂ ́ t}\) thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn vói chu kì \(T\).

* \(\mathrm{y}=\sin (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{2 \pi}{|a|}\)

*y \(=\cos (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{2 \pi}{|a|}\)

\({ }^{*} \mathrm{y}=\tan (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{\pi}{|a|}\)

\(*^{*} \mathrm{y}=\cot (a x+b)\) có chu kỳ \(T_{0}=\frac{\pi}{|a|}\)

- \(\mathrm{y}=f_{l}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{1} ; \mathrm{y}=f_{2}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{2}\)

Thì hàm số \(y=f_{1}(x) \pm f_{2}(x)\) có chu kỳ \(\mathrm{T}_{0}\) là bội chung nhỏ nhất của \(\mathrm{T}_{1}\) và \(\mathrm{T}_{2}\).

• Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số, khi đó

* Nếu \(D\) là tập đối xứng (tức \(\forall x \in D \Rightarrow-x \in D\) ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.

* Nếu \(D\) không phāi tập đối xứng(tức là \(\exists x \in D\) mà \(-x \notin D\) ) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lé.

Bước 2: Xác định \(f(-x)\) :

* Nếu \(f(-x)=f(x), \forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.

* Nếu \(f(-x)=-f(x), \forall x \in D\) thì kết luận hàm số là hàm số lè.

* Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.

Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:

1, Hàm số \(y=\sin x\) là hàm số lẻ trên \(D=\mathbb{R}\).

2, Hàm số \(y=\cos x\) là hàm số chẵn trên \(D=\mathbb{R}\).

3, Hàm số \(y=\tan x\) là hàm số lẻ trên \(D=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+k \pi \right\rvert\, k \in \mathbb{Z}\right\}\).

4, Hàm số \(y=\cot x\) là hàm số lẻ trên \(D=\mathbb{R} \backslash\{k \pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).

• Phương pháp giải:

1.Hàm số \(y=\sin x\) :

* Đồng biến trên các khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{\pi}{2}+k 2 \pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

* Nghịch biến trên các khoảng \(\left(\frac{\pi}{2}+k 2 \pi ; \frac{3 \pi}{2}+k 2 \pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

2.Hàm số \(y=\cos x\) :

* Đồng biến trên các khoảng \((-\pi+k 2 \pi ; k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}\).

* Nghịch biến trên các khoảng \((k 2 \pi ; \pi+k 2 \pi), k \in \mathbb{Z}\).

3.Hàm số \(y=\tan x\) đồng biến trên các khoảng \(\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi ; \frac{\pi}{2}+k \pi\right), k \in \mathbb{Z}\).

4.Hàm số \(y=\cot x\) nghịch biến trên các khoảng \((k \pi ; \pi+k \pi), k \in \mathbb{Z}\).

• Phương pháp giải:

*'Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) xác định trên miền \(\mathrm{D} \subset \mathrm{R}\).

1.Số thực \(\mathrm{M}\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) trên \(\mathrm{D}\) nếu \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \mathrm{M}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D} \\ \exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{D}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\mathrm{M}\end{array}\right.\)

2.Số thực \(\mathrm{N}\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) trên \(\mathrm{D}\) nếu \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x})\gt \mathrm{m}, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{D} \\ \exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{D}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)=\mathrm{m}\end{array}\right.\)

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:

1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác.

2.Diều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sin và cos .

Lưu ý

1.Bất đẳng thức \(\mathbf{A M}-\mathbf{G M}\).

a. Với hai số:Cho hai số thực \(a, b\) là hai số dương, ta có \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{a b}\) dấu bằng xảy ra khi \(a=b\).

b. Với \(n\) số:Cho hai số thực \(x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; \ldots ; x_{n}\) là các số dương \(n \in N^{*}, \quad\) ta có \(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots+x_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \ldots x_{n}}\) dấu bằng xảy ra khi \(x_{1}=x_{2}=x_{3}=\ldots=x_{n}\).

2. Bất đẳng thức Bunyakovsky

a.Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.

 \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \geq(a c+b d)^{2}\).

 Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số 

Với hai bộ số \(\left(a_{1} ; a_{2} ; \ldots ; a_{n}\right)\) và \(\left(b_{1} ; b_{2} ; \ldots ; b_{n}\right)\) ta có

c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky

    ta có \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right) \geq 4 a b c d\)

Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lương giác durọc dira ra ở phần I;

Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quà.

Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Cho hàm số \(y=f(x)\). Từ đồ thị hàm số \(y=f(x)\) ta suy diễn:

- Đồ thị hàm số \(y=|f(x)|\) gồm:

*Đối xứng phần đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

*Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị \(y=f(x)\).

- Đồ thị hàm số \(y=f(|x|)\) gồm:*Đối xứng phần đồ thị trên qua trục \(O y\).

*Phần đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) nằm bên phải trục \(O y\)

- Đồ thị hàm số \(y=|u(x)| \cdot v(x)\) với \(f(x)=u(x) \cdot v(x)\) gồm:

*Đối xứng phần đồ thị \(y=f(x)\) trên trên miền \(u(x)\lt 0\) qua trục hoành.

*Phần đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) trên miền thỏa mãn \(u(x) \geq 0\)

Như vậy, Examon đã tổng hợp tất cả các dạng toán thường gặp về phần hàm số lượng giác. Hy vọng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập và tìm thấy niềm vui khi học toán. Để thấy toán không khô khan mà còn rất thú vị. Đồng hành cùng Examon trên con đường tìm kiến tri thức.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ 

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh