Các dạng bài tập cấp số nhân

Phương_pháp:

 Với bài toán: Cho ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất \(K\), ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1. Từ giả thiết \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân, ta được: \(a c=b^{2}\).

+ Bước 2. Chứng minh tính chất \(K\).

Ví dụ1. Cho ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng: \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)\) \(=(a b+b c)^{2}\)

Từ giả thiết \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân, ta được: \(a c=b^{2}\).

Khi đó:

 \(\quad\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+b^{4}+b^{2} c^{2}\)

\(= a^{2} b^{2} + a c b^{2} + a c b^{2} + b^{2} c^{2}\)

 \(=a^{2} b^{2}+2 a b^{2} c+b^{2} c^{2}=(a b+b c)^{2}\).

Vậy: \(\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)=(a b+b c)^{2}\).

Phương_pháp: 

Để chứng minh ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: \(a c=b^{2}\).

Ví dụ 2. Cho ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân.

Từ giả thiết ba số \(\frac{2}{b-a}, \frac{1}{b}, \frac{2}{b-c}\) lập thành một cấp số cộng, ta được: \(\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}=\frac{2}{b} \Leftrightarrow b(b-c+b-a)\) \(=(b-a)(b-c) \Leftrightarrow b^{2}=a c\).

Vậy: ba số \(a, b, c\) lập thành một cấp số nhân.

Phương_pháp:

+ Để ba số \(a, b, c\) lập thành cấp số nhân, điều kiện là: \(a c=b^{2}\), bài toán được chuyển về việc giải phương trình.

+ Để bốn số \(a, b, c, d\) lập thành cấp số nhân, điều kiện là: \(\left\{\begin{array}{l}a c=b^{2} \\ b d=c^{2}\end{array}\right.\), bài toán được chuyển về việc giải hệ phương trình.

Ví dụ 3. Tìm \(x\) để ba số \(x-2, x-4, x+2\) lập thành một cấp số nhân

.Để ba số \(x-2, x-4, x+2\) lập thành một cấp số nhân, điều kiện là: \((x-4)^{2}=(x-2)(x+2) \Leftrightarrow 8 x=20\) \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\).

Vậy: \(x=\frac{5}{2}\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Phương_pháp: 

Thông thường bài toán được chuyển về xác định \(u_{1}\) và công bội \(q\).

Ví dụ 4. Tìm số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) của các cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết: \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144\end{array}\right.\)

Ta biến đổi:

 \(\left\{\begin{array}{l}u_{1} q^{3}-u_{1} q=72 \\ u_{1} q^{4}-u_{1} q^{2}=144\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1} q\left(q^{2}-1\right)=72 \\ u_{1} q^{2}\left(q^{2}-1\right)=144\end{array}\right.\right.\). 

\(\Rightarrow q=\frac{144}{72}=2 \Rightarrow u_{1}=12\)

Vậy: cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=12\) và \(q=2\).

Phương_pháp:

 Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q \neq 1\) thì tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) được tính theo công thức:

 \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).

Ví dụ 10. Tính các tổng sau:

a. \(S=2+6+18+\ldots+13122\).

b. \(S=1+2.2+3.2^{2}+\ldots+100.2^{99}\).

Giải

a. Xét cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=2\) và công bội \(q=3\), ta có:

Suy ra: \(S=S_{9}=u_{1} \frac{q^{9}-1}{q-1}=2 \frac{3^{9}-1}{3-1}=19682\).

b. Ta có:

Xét cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=1\), công bội \(q=2\).Ta có: \(1+2+2^{2}+\ldots+2^{99}=\frac{1\left(1-2^{100}\right)}{1-2}=2^{100}-1\).Suy ra: \(S=100 \cdot 2^{100}-\left(2^{100}-1\right)=99 \cdot 2^{100}+1\).

Trên đây là bài viết tổng hợp lại các dạng bài tập cấp số nhân và phương pháp giải chi tiết của từng bài. Examon tin rằng sau khi đoc song các bạn sẽ nắm rõ hơn về kiến thức cấp số nhân và sử dụng nhuần nhuyễn các công thức một cách hiệu quả. Cuối cùng không kém phần trong nếu chưa biết phương pháp học hiệu quả bạn hãy tham khảo dưới đây. 

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ VỀ CHỦ ĐỀ CẤP SỐ NHÂN

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1:  Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2:  Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện 

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

Bước 3:  Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán 

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi. 

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%

Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh