CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Hãy cùng Examon, chuẩn bị tinh thần và sẵn sàng khám phá bất đẳng thức tích phân nào!
Mục lục bài viết
Trong chương trình Toán 12, các bạn học sinh sẽ gặp gỡ nhiều chủ đề thú vị và quan trọng, trong đó không thể không nhắc đến các bài toán bất đẳng thức tích phân. Đây là một phần kiến thức đặc biệt không chỉ bởi tính ứng dụng cao mà còn giúp rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích của người học.
Vậy hãy cùng Examon xem qua các ứng dụng của bất đẳng thức tích phân ở bài viết dưới đây nhé !
1. Kiến thức cần nhớ
2. Các tính chất quan trọng
Với \(\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x})\) là các hàm liên tục trên \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}](\mathrm{a}\lt \mathrm{b})\) ta có:
\(\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}(\mathrm{f}(\mathrm{x}))^{2 \mathrm{n}} \mathrm{dx} \geq 0\). Dấu " \(=\) " xảy ra \(\Leftrightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x}) = 0 \forall \mathrm{x} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\)
\(\left|\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right| \leq \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}|\mathrm{f}(\mathrm{x})| \mathrm{dx}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 0 \forall x \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}] \\ \mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 0 \forall \mathrm{x} \in[\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\end{array}\right.\)
3. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn prabol và một đường thẳng
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn prabol và một đường thẳng:
\[I^{2}=\left(\int_{x_{1}}^{x_{2}}\left|a x^{2}+b x+c\right| d x\right)^{2}=\frac{\Delta^{3}}{36 a^{4}}\]Với \(x_{1}, x_{2}\) là 2 nghiệm của phương trình \(a x^{2}+b x+c=0\).
4. Bài tập minh họa
4.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\) thỏa mãn \(f(1)=0\) và \(\int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x=-7 \int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x-\frac{7}{4}\). Tính tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\).
Lời giải
Biến đổi giả thiết ta được:
\[\begin{array}{l}\int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x=-7 \int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x-\frac{7}{4} \\\Leftrightarrow \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)+\frac{7}{2} x^{3}\right)^{2} d x-\int_{0}^{1}\left(\frac{7 x^{3}}{2}\right)^{2} d x=\frac{-7}{4} \\\Leftrightarrow \int_{0}^{1}\left(f^{\prime}(x)+\frac{7}{2} x^{3}\right)^{2} d x=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{7 x^{3}}{2} \forall x \in[0 ; 1] \end{array}\]\(\Rightarrow f(x)=\frac{-7 x^{4}}{8}+C\)
Mặt khác ta lại có \(\mathrm{f}(1)=0 \Rightarrow \mathrm{C}=\frac{7}{8} \Rightarrow \int_{0}^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x=\frac{7}{10}\).
4.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho 2 số thực \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) thỏa mãn \(\mathrm{a}\lt \mathrm{b}, \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{ab}+4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân \(I=\int_{a}^{b}\left|x^{2}-(a+b)+a b\right| d x\)
Lời giải
Ta có:
\[\begin{array}{l}I^{2}=\left(\int_{a}^{b}\left|x^{2}-(a+b) x+a b\right| d x\right)^{2}=\frac{\Delta^{3}}{36} \\=\frac{\left((a+b)^{2}-4 a b\right)^{3}}{36}=\frac{\left((a b+4)^{2}-4 a b\right)^{3}}{36}=\frac{\left((a b+2)^{2}+12\right)^{2}}{36} \geq 48\end{array}\]4.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\), thỏa mãn \(\int_{0}^{1}[f(x)]^{2} d x=4\) và \(\int_{0}^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x=1\). Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{1}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]^{3} \mathrm{dx}\) bằng?
Lời giải
Với mỗi số thực \(\alpha, \beta\) ta có:
\[\begin{aligned}\int_{0}^{1}[f(x)+\alpha x+\beta]^{2} d x &\\ =\int_{0}^{1}[f(x)]^{2} d x+2 \int_{0}^{1}(\alpha x+\beta) f(x) d x+\int_{0}^{1}(\alpha x+\beta)^{2} d x \\ =4+2(\alpha+\beta)+\frac{\alpha^{2}}{3}+\alpha \beta+\beta^{2} .\end{aligned}\]Ta cần tìm \(\alpha, \beta\) sao cho \(\int_{0}^{1}[\mathrm{f}(\mathrm{x})+\alpha \mathrm{x}+\beta]^{2} \mathrm{dx}=0\) hay \(4+2(\alpha+\beta)+\frac{\alpha^{2}}{3}+\alpha \beta+\beta^{2}=0\)
\(\Leftrightarrow \alpha^{2}+(3 \beta+6) \alpha+3 \beta^{2}+6 \beta+12=0\).
Để tồn tại \(\alpha\) thì \(\Delta=(3 \beta+6)^{2}-4\left(3 \beta^{2}+6 \beta+12\right) \geq 0\)
\[\Leftrightarrow-3 \beta^{2}+12 \beta-12 \geq 0 \Leftrightarrow-3(\beta-2)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \beta=2 \Rightarrow \alpha=-6 \text {. }\]Vậy \(\int_{0}^{1}[\mathrm{f}(\mathrm{x})-6 \mathrm{x}+2]^{2} \mathrm{dx}=0 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=6 \mathrm{x}-2, \forall \mathrm{x} \in[0 ; 1] \Rightarrow \int_{0}^{1}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]^{3} \mathrm{dx}=10\).
4. Cung Examon thực hành các bài tập
Qua bài viết về các bài toán bất đẳng thức tích phân, Examon cùng bạn điểm qua những khái niệm cơ bản, các phương pháp giải cũng như những ví dụ minh họa thực tế. Thông qua việc tìm hiểu và thực hành, hy vọng rằng các bạn học sinh đã có thể nắm bắt tốt hơn về bản chất của bất đẳng thức trong tích phân và biết cách vận dụng linh hoạt trong các tình huống khác nhau.
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
