Biến đổi số tính tích phân
Trong bài viết hôm nay Examon sẽ giới thiệu đến bạn một phương pháp tính tích phân căn bản đó là phương pháp biến đổi số
Mục lục bài viết
Trong chương trình Tích phân lớp 12 có nhiều phương pháp tính và giải bài tập tích phân. Trong đó phương pháp biến đổi số được áp dụng rộng rãi và được nhiều học sinh quan tâm. Trong bài viết hôm nay Examon sẽ giúp bạn tìm hiểu sâu về phương pháp này cùng với các công thức và phương pháp tính đơn giản giúp bạn có thể áp dụng giải các bài tập tích phân một cách dễ dàng nhất.
1. Định lý.
• Định lí: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử hàm số \(x=\varphi(t)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([\alpha ; \beta]\) sao cho \(\varphi(\alpha)=a ; \varphi(\beta)=b\) và \(a \leq \varphi(t) \leq b\) vơi mọi \(t \in[\alpha ; \beta]\).
Khi đó \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{\alpha}^{B} f(\phi(t)) \varphi^{\prime}(t) d t\).
• Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng phép biến đổi biến số ở dạng sau:
- Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Để tính \(\int_{a}^{b} f(x) d x\), đôi khi ta chọn hàm số \(u=u(x)\) làm biến số mới, trong đó trên đoạn \([a ; b], u(x)\) có đạo hàm liên tục và \(u(x) \in[\alpha ; \beta]\).
- Giả sử có thể viết \(f(x)=g(u(x)) u^{\prime}(x), x \in[a ; b]\), với \(g(u)\) liên tục trên đoạn \([\alpha ; \beta]\).
Khi đó, ta có \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{u(a)}^{u(b)} g(u) d u\).
2. Định nghĩa.
• Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên \(K\) và \(a, b\) là hai số bất kì thuộc \(K\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ \(a\) đến \(b\) và kí hiệu là:
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]• Ta gọi: \(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x) \mathrm{dx}\) là biểu thức dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a\gt b\), ta có quy ước:
\[\int_{a}^{a} f(x) d x=0 ; \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x\]Nhận xét:
• Tích phân của hàm số \(f\) từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(u) d u\) hoặc \(\int_{a}^{b} f(t) d t\).
• Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\) hay \(t\).
• Ý nghĩa hình học của tích phân:
• Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a, b]\), thì tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) là diện tích \(\mathbf{S}\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(O x\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy \(S=\) \(\int_{a}^{b} f(x) d x\)
3. Tính chất.
Tính chất 1. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng 0 , tức là \(\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0\)
Tính chất 2. Đổi cận thì đổi dấu, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{d} x\).
Tính chất 3. Tách đôi tích phân, tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x\)
Tính chất 4. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)
Tính chất 5. Nếu hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm số chắn trên \([-\mathrm{a} ; \mathrm{a}]\) thì \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
Tính chất 6. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và là hàm chẵn trên \(\mathrm{R}\) thì: \(\quad \int_{-\alpha}^{\alpha} \frac{f(x)}{a^{x}+1} d x=\int_{0}^{\alpha} f(x) d x\) (với \(\alpha \in \mathrm{R}^{+}\)và \(\mathrm{a}\gt 0\) )
Tính chất 7. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{d} x=k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \text { }\]\((k\) là hằng số\()\)
Tính chất 8. Tích phân một tổng bẳng tổng\((k\) các tích phân, tức là
\[\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \pm \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x .\]Tính chất 9. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) thì \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\)
Tính chất 10. Nếu \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và \(f(a+b-x)=f(x)\) hoặc \(f(a+b-x)=-f(x)\)
• Chú ý:
- Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) và các cận \(a, b\) mà không phụ thuộc vào biến số \(x\), tức là \(\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t\).
4. Các dạng bài và phương pháp giải.
4.1. Dạng 1.
Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc
• Trong biểu thức của \(f(x) d x\) có chứa căn thì đặt căn đó bằng \(t\).
• Trong biểu thức của \(f(x) d x\) có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng \(t\).
• Trong biểu thức của \(f(x) d x\) có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ bằng \(t\).
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) \(I=\int_{0}^{4} \frac{d x}{3+\sqrt{2 x+1}}\).
b) \(I=\int_{0}^{\ln 3} \frac{d x}{\sqrt{e^{x}+1}}\).
Lời giải chi tiết:
Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận.
a) Đặt \(t=\sqrt{2 x-1}\)\(\Leftrightarrow t^{2}=2 x+1 \Leftrightarrow d x=t d t\).
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=1 \\ x=4 \Rightarrow t=3\end{array}\right.\).
Khi đó \(I=\int_{1}^{3} \frac{t}{3+t} d t=\int_{1}^{3}\left(1-\frac{3}{t+3}\right) d t\)
\(=\left.(t-3 \ln |t+3|)\right|_{1} ^{3}\)
\(=3-3 \cdot \ln 6-1+3 \cdot \ln 4\)
\(=2+3 \cdot \ln \frac{2}{3}\)
b) Đặt \(t=\sqrt{e^{x}+1} \Leftrightarrow t^{2}=e^{x}+1\)
\(\Leftrightarrow 2 t d t=e^{x} d x \Leftrightarrow d x=\frac{2 t}{t^{2}-1} d t\).
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=\sqrt{2} \\ x=\ln 3 \Rightarrow t=2\end{array}\right.\),
khi đó \(I=2 \int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d t}{t^{2}-1}=\ln \left|\frac{t-1}{t+1}\right|_{\sqrt{2}}^{2}\)
\(=-\ln 3(3-2 \sqrt{2})\).
4.2. Dạng 2.
•Tích phân đổi biến số với hàm ẩn
- Chú ý tính chất: \(\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(t) d t\)\(=\int_{a}^{b} f(u) d u\) (tích phân không phụ thuộc vào biến).
Ví dụ 1: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int_{0}^{6} f(x) d x=12\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(3 x) d x\).
A. \(I=6\).
B. \(I=36\).
C. \(I=2\).
D. \(I=4\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(I=\int_{0}^{2} f(3 x) d x=\frac{1}{3} \int_{0}^{2} f(3 x) d(3 x)\)
\(\xrightarrow{t=3 x} \frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(t) d t=\frac{1}{3} \int_{0}^{6} f(x) d x\)
\(=\frac{12}{3}=4\)
Ví dụ 2: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([-1 ;+\infty)\) và \(\int_{0}^{3} f(\sqrt{x+1}) d x=8\). Tính \(I=\int_{1}^{2} x \cdot f(x) d x\)
A. \(I=2\).
B. \(I=8\).
C. \(I=4\).
D. \(I=16\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t=\sqrt{x+1} \Rightarrow t^{2}=x+1\)\(=d x\)
và đổi cận \(\left\{\begin{array}{l}x=0 \Rightarrow t=1 \\ x=3 \Rightarrow t=2\end{array}\right.\).
Khi đó \(I=\int_{0}^{3} f(\sqrt{x+1}) d x=2 \int_{1}^{2} t . f(t) d t\)
\(=2 \int_{1}^{2} t . f(t) d t=8 \Rightarrow \int_{1}^{2} t . f(t) d t=4\)
\(\Rightarrow \int_{1}^{2} x \cdot f(x) d x=4\)
4.3. Dạng 3.
• Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([-a ; a]\). Chứng minh rằng:
a) \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\) nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn.
b) \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=0\) nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ.
a) Hàm số \(f(x)\) là hàm chẵn thì \(f(-x)=f(x)\)
Ta có: \(\int_{-a}^{0} f(x) d x=-\int_{-a}^{0} f(-x) d(-x)\)
\(\xrightarrow{t=-x}-\int_{a}^{0} f(t) d t=-\int_{a}^{0} f(x) d x\)
Do đó \(\int_{-a}^{a} f(x) d x\)
\(=\int_{-a}^{0} f(x) d x+\int_{0}^{a} f(x) d x\)
\(=2 \int_{0}^{2} f(x) d x\).
b) Hàm số \(f(x)\) là hàm lẻ thì \(f(-x)=-f(x)\)
Ta có: \(\int_{-a}^{a} f(x) d x=-\int_{-a}^{a} f(-x) d x\)
\(=\int_{-a}^{a} f(-x) d(-x)\)
\(\xrightarrow{t=-x} \int_{a}^{-a} f(t) d t=-\int_{a}^{a} f(x) d x\)
Do đó \(2 \int_{-a}^{a} f(x) d x=0\)
\(\Leftrightarrow \int_{-a}^{a} f(x) d x=0\).
Ví dụ: Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2+2 \cos 2 x}, \)
\(\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(x) d x\).
A. \(I=-6\).
B. \(I=0\).
C. \(I=-2\).
D. \(I=6\).
Lời giải chi tiết:
Lấy tích phân 2 vế của \(f(x)+f(-x)=\cos 2 x\)
cận từ \(-\frac{3 \pi}{2} \rightarrow \frac{3 \pi}{2}\)
ta có: \(\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(x) d x+\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(-x) d x\)
\(=\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \sqrt{2+2 \cos 2 x} d x\)
\(=2 \int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|\cos x| d x\) \(=12\) (Sử dụng máy tính Casio).
Đặt \(t=x \Rightarrow d t=-d x\)
và đổi cận \(\left\lvert\, \begin{array}{l}x=-\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow t=\frac{3 \pi}{2} \\ x=\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow t=-\frac{3 \pi}{2}\end{array}\right.\).
Khi đó \(\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(-x) d x=-\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(t) d t\)
\(=\int_{\frac{3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(t) d t=\int_{\frac{3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(x) d x\).
Suy ra \(\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(x) d x+\int_{\frac{-3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(-x) d x\)
\(=2 I=12 \Rightarrow I=6\).
Lời kết
Bài viết trên Examon đã giúp bạn tổng hợp các kiến thức liên quan đến phương pháp biến đổi số tính tích phân. Với những tổng hợp, những công thức cũng như phương pháp của Examon, hy vọng rằng bạn đã có cho mình những khiến thức hữu ích có thể áp dụng để giải bài tập tích phân liên quan đến dạng bài này. Để có thể học tốt chương Tích phân và giải được nhiều dạng bài hơn, ngoài việc phải thuộc công thức và phương pháp giải bạn cần phải chăm chỉ luyện đề thật nhiều.
Vậy bạn đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không?
Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
• Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
• Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
• Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!