Bất đẳng thức, giá trị MAX-MIN biểu thức lượng giác
Để giải đáp thắc mắc về Bất đẳng thức và tìm giá trị MAX-MIN biểu thức lượng giác thì bài viết sau đây Examon sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về vấn đề này.
Mục lục bài viết
Bài viết Bất đẳng thức, giá trị MAX-MIN biểu thức lượng giác bao gồm 3 phần: Phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập rèn luyện. Với mỗi phần ví dụ và bài tập đều có phương pháp giải và lời giải chi tiết giúp các bạn dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào bài làm của mình.
Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn học sinh học tốt về chủ đề bất đẳng thức lượng giác.

1. Phương pháp giải
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc và các công thức biến đổi lượng giác.
- Sử dụng kết quả \(|\sin \alpha| \leq 1,|\cos \alpha| \leq 1\) với mọi số thực \(\alpha\)
2. Ví dụ minh họa
2.1 Ví dụ 1
Chứng minh rằng với \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) thì
a) \(2 \cot ^{2} \alpha \geq 1+\cos 2 \alpha\)
b) \(\cot \alpha \geq 1+\cot 2 \alpha\)
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với
\[\begin{array}{l}2\left(\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1\right) \geq 2 \cos ^{2} \alpha \Leftrightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \alpha}-1 \geq 1-\sin ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow \frac{1}{\sin ^{2} \alpha}+\sin ^{2} \alpha \geq 2 \Leftrightarrow \sin ^{4} \alpha-2 \sin ^{2} \alpha+1 \geq 0 \\\Leftrightarrow\left(\sin ^{2} \alpha-1\right)^{2} \geq 0 \text { (đúng) ĐPCM. }\end{array}\]b) Bất đẳng thức tương đương với
\[\begin{array}{l}\left.\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \geq \frac{\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha} \Leftrightarrow \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \geq \frac{\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} \text { (}^{*}\right) \\\text { Vì } 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha\gt 0 \\\cos \alpha>0\end{array}\right. \text { nên } \\\left(^{*}\right) \Leftrightarrow 2 \cos ^{2} \alpha \geq \sin 2 \alpha+\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha \\\Leftrightarrow 1 \geq \sin 2 \alpha \text { (đúng) ĐPCM. }\end{array}\]2.2 Ví dụ 2
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a) \(A=\sin x+\cos x\)
b) \(B=\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\)
Lời giải
a) Ta có
\(A^{2}=(\sin x+\cos x)^{2}=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x+2 \sin x \cos x=1+\sin 2 x\)
Vì \(\sin 2 x \leq 1\) nên \(A^{2}=1+\sin 2 x \leq 1+1=2\) suy ra \(-\sqrt{2} \leq A \leq \sqrt{2}\).
Khi \(x=\frac{\pi}{4}\) thì \(A=\sqrt{2}, x=-\frac{3 \pi}{4}\) thì \(A=-\sqrt{2}\)
Do đó \(\max A=\sqrt{2}\) và \(\min A=-\sqrt{2}\).
b) Ta có
\(B=\left(\frac{1-\cos 2 x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)^{2}=\frac{1-2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x}{4}+\frac{1+2 \cos 2 x+\cos ^{2} 2 x}{4}\)
\[=\frac{2+2 \cos ^{2} 2 x}{4}=\frac{2+1+\cos 4 x}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cdot \cos 4 x\]Vì \(-1 \leq \cos 4 x \leq 1\) nên \(\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4} \cdot \cos 4 x \leq 1\) suy ra \(\frac{1}{2} \leq B \leq 1\).
Vậy \(\max B=1\) khi \(\cos 4 x=1\) và \(\min B=\frac{1}{2}\) khi \(\cos 4 x=-1\).

3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\).
Chứng minh rằng \(\left(\sin \alpha+\frac{1}{2 \cos \alpha}\right)\left(\cos \alpha+\frac{1}{2 \sin \alpha}\right) \geq 2\)
Lời giải
Ta có \(\left(\sin \alpha+\frac{1}{2 \cos \alpha}\right)\left(\cos \alpha+\frac{1}{2 \sin \alpha}\right)=\sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4 \sin \alpha \cos \alpha}+1\)
Vì \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin \alpha \cos \alpha\gt 0\).
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
\(\begin{array}{l}\sin \alpha \cos \alpha+\frac{1}{4 \sin \alpha \cos \alpha} \geq 2 \sqrt{\sin \alpha \cos \alpha \cdot \frac{1}{4 \sin \alpha \cos \alpha}}=1 \\ \text { Suy ra }\left(\sin \alpha+\frac{1}{2 \cos \alpha}\right)\left(\cos \alpha+\frac{1}{2 \sin \alpha}\right) \geq 2 \text { ĐPCM. }\end{array}\)
Bài 2: Chứng minh rằng với \(0 \leq \alpha \leq \pi\) thì
\[(2 \cos 2 \alpha-1)^{2}-4 \sin ^{2}\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\gt (\sqrt{2 \sin \alpha}-2)(3-2 \cos 2 \alpha) .\]Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với
\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow(2 \cos 2 \alpha-1)^{2}-2\left[1-\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\right]+2(3-2 \cos 2 \alpha)\gt \sqrt{2 \sin \alpha}\left[3-2\left(1-2 \sin ^{2} \alpha\right)\right] \\\Leftrightarrow 4 \cos ^{2} 2 \alpha-8 \cos 2 \alpha+5+2 \sin \alpha>\sqrt{2 \sin \alpha}\left(4 \sin ^{2} \alpha+1\right) \\\Leftrightarrow 4(1-\cos 2 \alpha)^{2}+1+2 \sin \alpha>\sqrt{2 \sin \alpha}\left(4 \sin ^{2} \alpha+1\right) \\\Leftrightarrow 16 \sin ^{4} \alpha+2 \sin \alpha+1>\sqrt{2 \sin \alpha}\left(4 \sin ^{2} \alpha+1\right)\end{array}\]Đặt \(\sqrt{2 \sin \alpha}=t\), vì \(0 \leq \alpha \leq \pi \Rightarrow 0 \leq t \leq \sqrt{2}\).
Bất đẳng thức trở thành \(t^{8}+t^{2}+1>t\left(t^{4}+1\right) \Leftrightarrow t^{8}-t^{5}+t^{2}-t+1>0\) (*)
+ Nếu \(0 \leq t\lt 1:(*) \Leftrightarrow t^{8}+t^{2}\left(1-t^{8}\right)+1-t>0\) đúng vì \(1-t>0,1-t^{8}>0, t^{2} \geq 0\) và \(t^{8} \geq 0\).
+ Nếu \(1 \leq t \leq \sqrt{2}:\left(^{*}\right) \Leftrightarrow t^{5}\left(t^{8}-1\right)+t(t-1)+1>0\) đúng vì \(t^{5}\left(t^{8}-1\right) \geq 0, t(t-1) \geq 0\)
Vậy bất đẳng thức \(\left({ }^{*}\right)\) đúng suy ra \(\triangle \mathrm{PCM}\).
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(A=2-2 \sin x-\cos 2 x\)
Lời giải
Ta có \(A=2-2 \sin x-\left(1-2 \sin ^{2} x\right)=2 \sin ^{2} x-2 \sin x+1\)
Đặt \(t=\sin x,|t| \leq 1\) khi đó biểu thức trở thành \(A=2 t^{2}-2 t+1\)
Xét hàm số \(y=2 t^{2}-2 t+1\) với \(|t| \leq 1\).
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(\max A=5\) khi \(t=-1\) hay \(\sin x=1\).
\(\min A=\frac{1}{2}\) khi \(t=\frac{1}{2}\) hay \(\sin x=\frac{1}{2}\).
4. Tiến bộ từng ngày cùng Examon
Trên đây là bài viết Bất đẳng thức và tìm giá trị MAX-MIN biểu thức lượng giác. Mong rằng bài viết sẽ giúp các bạn củng cố thêm kiến thức. Hãy nhớ luyện tập thường xuyên để không bị quên kiến thức mà còn cải thiện tư duy. Cùng Examon nâng tầm tri thức.
PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh