Bất đẳng thức trong tích phân

Trương Hồng Hạnh

Bất đẳng thức tích phân một công cụ giúp chúng ta hiểu hơn về cách thức đánh giá và so sánh các giá trị tích phân.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Kiến thức cần nhớ
  • 2. Bất đẳng thức tích phân
  • 3. Bài tập minh họa
    • 3.1. Bài tập 1
    • 3.2. Bài tập 2
    • 3.3. Bài tập 3
  • 4. Cùng học bài với AI Examon

Bất đẳng thức trong tích phân không chỉ giúp ta ước lượng và kiểm soát giá trị của các tích phân mà còn mở ra cánh cửa hiểu biết sâu sắc hơn về cấu trúc của chúng. Trong bài viết dưới đây, cùng Examon tìm hiểu về các bất đẳng thức quan trọng và cách áp dụng để đơn giản hóa và đánh giá giá trị của các tích phân.

banner

1. Kiến thức cần nhớ

Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\). Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là

\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]

trong đó : 

\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,

\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên, 

\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân

\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.

2. Bất đẳng thức tích phân

Nếu \(f(x)\) liên tục trên [a; b] thì \(\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \int_{a}^{b}|f(x) d x|\)

Nếu \(f(\mathbf{x})\) liên tục trên \([a;b]\) và \(\mathrm{m} \leq f(\mathbf{x}) \leq \mathrm{M}\) thì \(m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a)\)

Nếu \(f(x),g(x)\) liên tục trên [a; b] thì \(\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x \cdot \int_{a}^{b} g^{2}(x) d x\) 

(dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(f(x) = k.g(x)\) 

3. Bài tập minh họa

3.1. Bài tập 1

Bài 1: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) thỏa mãn \(f(0)=\frac{6-4 \sqrt{2}}{3}\)\(f(1)=2\) và \(f^{\prime}(x)\gt 0, \forall x \in[0 ; 1]\). Biết tích phân \(\int_{0}^{1} \sqrt{2+2 \sqrt{2 x-x^{2}}+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó hãy tính \(f(2)\) ?

Lời giải

Ta có: \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{2+2 \sqrt{2 x-x^{2}}+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x=\int_{0}^{1} \sqrt{(\sqrt{2-x}+\sqrt{x})^{2}+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\)

Ta có : 

\(\sqrt{(\sqrt{2-x}+\sqrt{x})^{2}+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+f^{\prime}(x)\right]\)

\[\leftrightarrow \int_{0}^{1} \sqrt{(\sqrt{2-x}+\sqrt{x})^{2}+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \int_{0}^{1}\left[\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+f^{\prime}(x)\right] d x\]

Mà: \(\int_{0}^{1}\left[\sqrt{2-x}+\sqrt{x}+f^{\prime}(x)\right] d x=\int_{0}^{1}(\sqrt{2-x}+\sqrt{x}) d x+\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x\)

\(=\frac{4 \sqrt{2}}{3}+f(1)-f(0)=\frac{8 \sqrt{2}}{3}\)

Do đó \(I \geq \frac{8}{3}\)

Dấu " \(=\) " xảy ra khi và chi khi : \(f^{\prime}(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{x}\)

\(\rightarrow f(x)=\frac{2}{3}\left(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{(2-x)^{3}}\right)+C\)

Ta có: \(f(1)=2 \leftrightarrow C=2\)

\(\rightarrow f(x)=\frac{2}{3}\left(\sqrt{x^{3}}-\sqrt{(2-x)^{3}}\right)+2 \rightarrow f(2)=\frac{6+4 \sqrt{2}}{3}\)

3.2. Bài tập 2

Bài 2: Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \([1 ; 2]\) thỏa mãn \(\int_{x_{1}}^{x_{2}}[f(x)]^{2} d x \leq \frac{x_{2}^{3}-x_{1}^{3}}{3}\) với mọi \(x_{1}, x_{2} \in[1 ; 2]\) sao cho \(x_{1} \leq x_{2}\). Tìm GTLN của tích phân \(\int_{1}^{2} f(x) d x\).

Lời giải

Ta có: 

\(\int_{x_{1}}^{x_{2}} x^{2} d x=\frac{x_{2}^{3}-x_{1}^{3}}{3} \rightarrow \int_{x_{1}}^{x_{2}}[f(x)]^{2} d x \leq \int_{x_{1}}^{x_{2}} x^{2} d x \leftrightarrow \int_{x_{1}}^{x_{2}}\left(x^{2}-[f(x)]^{2}\right) d x \geq 0\)

Do hàm \(f(x)=x^{2}-[f(x)]^{2}\) liên tục trên \([1 ; 2]\) nên:

\[x^{2}-[f(x)]^{2} \geq 0 \leftrightarrow|f(x)| \leq x, \forall x \in[1 ; 2]\]

Tư đó suy ra \(\int_{1}^{2} f(x) d x \leq \int_{1}^{2}|f(x)| d x \leq \int_{1}^{2} x d x=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(f(x)=x ; x_{1}=1 ; x_{2}=2\)

3.3. Bài tập 3

Bài 3: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \((a ; b)\) thỏa mãn \(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty\)\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\) và \(f^{\prime}(x)+f^{2}(x) \geq-1, \forall x \in(a ; b)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=b-a\).

Lời giải

Ta có: \(f^{\prime}(x)+f^{2}(x) \geq-1 \leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)} \geq-1\)

Lấy tích phân hai vế ta được:

 

\[\int_{a}^{b} \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)} \geq \int_{0}^{1}-\left.1 d x \leftrightarrow \arctan f(x)\right|_{a} ^{b} \geq a-b \leftrightarrow b-a \geq \arctan f(b)-\arctan f(a)\]

Vì \(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=-\infty\) nên \(b-a \geq \pi\)

Nhận xét: Khi hàm số \(f(x)=\cot x\) cận \(b=\pi, a=0\) thì dấu " \(=\) " xảy ra

4. Cùng học bài với AI Examon

image.png
Bộ đề ôn thi cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Hy vọng rằng những kiến thức chúng ta đã cùng nhau khám phá sẽ trở thành hành trang quý báu giúp các bạn học sinh tiếp tục hành trình chinh phục các bài toán tích phân . Việc áp dụng các bất đẳng thức không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu sắc các vấn đề liên quan đến tích phân mà còn rèn luyện tư duy logic và sự sáng tạo. Chúc các bạn thành công và luôn đam mê trên con đường toán học!

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi TÍCH PHÂN yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng ½ time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 sản phẩm hỗ trợ học hiệu quả và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ nhanh 200%

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Từ tiêu chí số 3 Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ AI Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư AI sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa về hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc ĐIỂM SỐ mình mơ ước.