Bất đẳng thức Holder cho tích phân
Bất đẳng thức Holder là một trong phương pháp nổi bật với khả năng ứng dụng rộng rãi và sự mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán tích phân phức tạp
Mục lục bài viết
Bất đẳng thức Holder là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực tích phân. Nó này được sử dụng để ước lượng giá trị của tích phân thông qua việc áp dụng các điều kiện nhất định.
Việc hiểu và áp dụng bất đẳng thức Holder là vô cùng quan trọng vì vậy Examon sẽ giới thiệu rõ nét cho bạn phương pháp này ở bài viết dưới đây để có thể áp dụng giải các bài toán tích phân.
1. Kiến thức cần nhớ
Cho \(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a ; b]\).
Hiệu số \(F(a)-F(b)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\]trong đó :
\(\int_{a}^{b}\) là dấu tích phân,
\(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên,
\(f(x) \mathrm{d} x\) là biểu thức dưới dấu tích phân
\(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
2. Bất đẳng thức Holder
Cho \(\mathrm{f}(\mathrm{x}), \mathrm{g}(\mathrm{x}):[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \rightarrow \mathbb{R}\) là các hàm khả tích trên đoạn \([\mathrm{a} ; \mathrm{b}]\) khi đó ta luôn có :
\(\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x\right| \leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{p} d x\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{q} d x\right)^{\frac{1}{a}}\)
Trong đó \(\mathrm{p}, \mathrm{q}\) là các số thực dươg thỏa mãn \(\frac{1}{\mathrm{q}}+\frac{1}{\mathrm{p}}=1\).
3. Bài tập minh họa
3.1. Bài tập 1
Bài 1 : Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\gt 0, \forall \mathrm{x} \in[0 ; 1]\) và có đạo hàm liên tục trên đoạn \([0 ; 1]\) thỏa mãn \(f(1) \ln [f(1)]-f(0) \ln [f(0)]=\ln 256, \int_{0}^{1} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{x+1} d x=6, \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \ln [f(x)] d x=4 \ln 4-3\). Tính giá trị của tích phân \(\int_{0}^{1} \mathrm{f}^{3}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) ?
Lời giải
Xét tích phân \(I=\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \ln [f(x)] d x\).
Đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=\ln [f(x)] \\ d v=f^{\prime}(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x \\ v=f(x)\end{array} \Rightarrow I=\left.f(x) \ln [f(x)]\right|_{0} ^{1}-f^{\prime}(x)=4 \ln 4-3\right.\right.\)
\(=\ln 256-\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x=4 \ln 4-3 \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x=3\)
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Holder ta có :
\[9=\left(\int_{0}^{1} \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{x+1}} \cdot \sqrt{x+1} d x\right)^{2} \leq \int_{0}^{1}\left[\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{x+1}}\right]^{2} d x \cdot \int_{0}^{1}(x+1) d x=6 \cdot \frac{3}{2}=9\]Dấu " \(=\) " xảy ra khi và chỉ khi \(f^{\prime}(x)=k(x+1)\), vì \(\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) d x=3 \Rightarrow k=2\)
\(\Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{C} \text {, vì } \mathrm{f}(1) \ln [\mathrm{f}(1)]-\mathrm{f}(0) \ln [\mathrm{f}(0)]=\ln 256 \Rightarrow \mathrm{C}=1\)
Vậy ta được \(f(x)=x^{2}+2 x+1 \Rightarrow \int_{0}^{1} f^{3}(x) d x=\frac{127}{7}\)
3.2. Bài tập 2
Bài 2 : Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên \([0 ; 2]\) thỏa mãn điều kiện \(\mathrm{f}(0)-2 \mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(2)=1\). Giá trị nhỏ nhất của tích phân \(\int_{0}^{2}\left[\mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{x})\right]^{2} \mathrm{dx}\) bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có :
\[\int_{0}^{1}\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x=3 \int_{0}^{1} x^{2} d x . \int_{0}^{1}\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x \geq 3\left(\int_{0}^{1} x . f^{\prime \prime}(x) d x\right)^{2}\]Ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x \\ d v=f^{\prime \prime}(x) d x\end{array} \Rightarrow 3\left(\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(x) d x\right)^{2}=3\left[f^{\prime}(1)+f(0)-f(1)\right]^{2}\right.\)
Sử dụng bất đẳng thức Holder ta có :
\[\int_{1}^{2}\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x=3 \int_{1}^{2}(x-2)^{2} d x . \int_{1}^{2}\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x \geq 3\left(\int_{1}^{2}(x-2) . f^{\prime \prime}(x) d x\right)^{2}\]Ta đặt \(\left\{\begin{array}{l}u=x-2 \\ d v=f^{\prime \prime}(x) d x\end{array} \Rightarrow 3\left(\int_{1}^{2}(x-2) f^{\prime \prime}(x) d x\right)^{2}=3\left[-f^{\prime}(1)+f(2)-f(1)\right]^{2}\right.\)
Suy ra \(2 \int_{0}^{2}\left[f^{\prime \prime}(x)\right]^{2} d x \geq 3\left[f^{\prime}(1)+f(0)-f(1)\right]^{2}+3\left[-f^{\prime}(1)+f(2)-f(1)\right]^{2}\)
Theo bất đẳng thức \(\mathrm{AM}-\mathrm{GM}\) ta có :
\[3\left[f^{\prime}(1)+f(0)-f(1)\right]^{2}+3\left[-f^{\prime}(1)+f(2)-f(1)\right]^{2} \geq 3 . \frac{[f(0)-2 f(1)+f(2)]^{2}}{2}=\frac{3}{2} .\]3.3. Bài tập 3
Bài 3 : Cho hàm số \(\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có đạo hàm trên \([1 ; 3]\) và \(\mathrm{f}(1)=0, \max _{[1 ; 3]}|\mathrm{f}(\mathrm{x})|=\sqrt{10}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của tích phân \(\int^{3}\left[\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})\right]^{2} \mathrm{dx}\) .
Lời giải
Nhận thấy rằng \(\max _{[1 ; 3]}|f(x)|=\sqrt{10} \Rightarrow \exists x_{0} \in[1 ; 3]\) sao cho \(\left|f\left(x_{0}\right)\right|=\sqrt{10}\)
Ta có \(\mathrm{f}(1)=0 \Rightarrow \exists \mathrm{x}_{0} \in(1 ; 3]\) sao cho \(\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)\right|=\sqrt{10}\).
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
\[\left(\int_{1}^{x_{0}} f^{\prime}(x) d x\right)^{2} \leq \int_{1}^{x_{0}} 1^{2} d x . \int_{1}^{x_{0}}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x=\left(x_{0}-1\right) \cdot \int_{1}^{x_{0}}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x\]Mặt khác ta lại có \(\left(\int_{1}^{\mathrm{x}_{0}} \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\right)^{2}=\left(\left.\mathrm{f}(\mathrm{x})\right|_{1} ^{\mathrm{x}_{0}}\right)^{2}=\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right)-\mathrm{f}(1)\right)^{2}=10\)
\[\Rightarrow \int_{1}^{x_{0}}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x \geq \frac{10}{x_{0}-1} \Rightarrow \int_{1}^{3}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x \geq \int_{1}^{x_{0}}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x \geq \frac{10}{x_{0}-1} \geq \frac{10}{3-1}\]4. Học hiệu quả với Examon
Trong suốt bài viết này, chúng ta đã đi từ những khái niệm cơ bản nhất đến những bài tập minh họa cụ thể về cách sử dụng bất đẳng thức Holder trong tích phân. Hy vọng rằng các bạn có thể áp dụng kiến thức này vào việc học tập và nghiên cứu của mình để có những kết quả tốt hơn. Hãy tiếp tục khám phá và ứng dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn, để mỗi ngày trôi qua đều trở thành một hành trình khám phá tri thức đầy thú vị và sáng tạo.
Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?
Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".
Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?
Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:
Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú
Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện
Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:
| BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK | Tiết |
| CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP | 7 |
| Bài 1. Mệnh đề toán học | 3 |
| Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp | 3 |
| Bài tập cuối chương I | 1 |
| CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN | 6 |
| Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 2 |
| Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn | 3 |
| Bài tập cuối chương II | 1 |
Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp
Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?
Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán
Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.
Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON
Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 300%
Examon sẽ phân môn theo chương theo dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào?
Mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.
Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:
1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng
2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này
3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.
