BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN

Bài 1 : Cho hàm số \(\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) có đạo hàm liên tục trên \([1 ; 2]\), thỏa \(\int_{1}^{2} \mathrm{x}^{3} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=31\). Giá trị nhỏ nhất của tích phân \(\int_{1}^{2} \mathrm{f}^{4}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x\) bằng bao nhiêu ?

Lời giải

Áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :

\(31^{4}=\left(\int_{1}^{2} x^{3} f(x) d x\right)^{4}\)

\(=\left[\left(\int_{1}^{2} x^{2} \cdot x f(x) d x\right)^{2}\right]^{2} \leq\left(\int_{1}^{2} x^{4} d x\right)^{2}\left(\int_{1}^{2} x^{2} f^{2}(x) d x\right)^{2} \leq\left(\int_{1}^{2} x^{4} d x\right)^{3} \int_{1}^{2} f^{4}(x) d x\)

Suy ra \(\int_{1}^{2} f^{4}(x) d x \geq \frac{31^{4}}{\left(\int_{1}^{2} x^{4} d x\right)^{3}}=3875\)

Dấu " \(=\)" xảy ra khi \(\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{kx}\) nên \(\mathrm{k} \int_{1}^{2} \mathrm{x}^{4} \mathrm{~d} x=31 \Leftrightarrow \mathrm{k}=5 \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}^{2}\)

Bài 2 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \([0 ; \pi]\), thỏa mãn \(\int_{0}^{\pi} f(x) d x=\int_{0}^{\pi} \cos x f(x) d x=1\). Giá trị nhỏ nhất của tích phân \(\int_{0}^{\pi} \mathrm{f}^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}\) bằng?

Lời giải

Ta có \(\int_{0}^{\pi} f(x) d x=\int_{0}^{\pi} \cos x f(x) d x=1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\int_{0}^{\pi} a \cos x f(x) d x \\ b=\int_{0}^{\pi} b f(x) d x\end{array}\right.\) vói \(\left\{\begin{array}{l}a, b \in \mathbb{Z} \\ a^{2}+b^{2}\gt 0\end{array}\right.\)

Theo Cauchy - Schwarz ta có :

\((a+b)^{2}=\left(\int_{0}^{\pi}(a \cos x+b) f(x) d x\right)^{2} \leq \int_{0}^{\pi}(a \cos x+b)^{2} d x \int_{0}^{\pi} f^{2}(x) d x\)

Lại có \(\int_{0}^{\pi}(\mathrm{a} \cos \mathrm{x}+\mathrm{b})^{2} \mathrm{dx}=\frac{1}{2} \pi\left(\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}\right)\). 

Suy ra \(\int_{0}^{\pi} \mathrm{f}^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \geq \frac{2(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}}{\pi\left(\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}\right)}\) với \(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Z} \\ \mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\gt 0\end{array}\right.\)

Do đó \(\int_{0}^{\pi} \mathrm{f}^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{dx} \geq \frac{2}{\pi} \cdot \max \left\{\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}}{\mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}}\right\}=\frac{3}{\pi}\)

Bài 3 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0 ; 1]\), thỏa mãn \(f(1)=0\) đồng thời \(\int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x=7\) và \(\int_{0}^{1} x^{2} f(x) d x=\frac{1}{3}\). Tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng?

Lời giải

Tích phân từng phần  \(\int_{0}^{1} \mathrm{x}^{2} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\) ta có :

\(\int_{0}^{1} x^{2} f(x) d x=\left.\frac{x^{3}}{3} f(x)\right|_{0} ^{1}-\frac{1}{3} \int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x=-1 .\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :

\(\left(\int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x\right)^{2} \leq \int_{0}^{1} x^{6} d x . \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x=1 \Rightarrow-1 \leq \int_{0}^{1} x^{3} f^{\prime}(x) d x \leq 1\)

Vậy dấu " \(=\) " xảy ra khi \(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{kx}\). 

Thế ngược lại ta tìm được \(\mathrm{k}=-7\)

Vậy \(f^{\prime}(x)=-7 x^{3}, \forall x \in[0 ; 1] \Rightarrow f(x)=-\frac{7}{4} x^{4}+C\)

\(\Rightarrow \mathrm{C}=\frac{7}{4} \Rightarrow \mathrm{f}(\mathrm{x})=-\frac{7}{4} \mathrm{x}^{4}+\frac{7}{4} \Rightarrow \int_{0}^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{d} x=\frac{7}{5}\)