Công thức Nguyên hàm đầy đủ nhất & Bài tập thường gặp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số hợp \((u=u(x))\)

(i) \(\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C\)

(ii) \(\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C=\frac{1}{a} \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

(iii) \(\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C=-\frac{1}{a} \operatorname{coth}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

(iv) \(\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C\)

(v) \(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+C=\cosh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

(vi) \(\left.\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log 1 x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C=\sinh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)

(vii) \(\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2} \mid}\right]+C\right.\)(viii) \(\left[\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]+C\right.\)

(ix) \(\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-a^{2} \log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\right]+C\)

(x) \(\int(p x+q) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x=\frac{p}{2 a} \int(2 a x+b) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x\)

(1) \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)

(2) \(\int \mathrm{e}^{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \mathrm{e}^{a x+b}+C\)

(3) \(\int \sin (a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)

(4) \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)

(5) \(\int \cot (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C\)

(6) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\)

(7) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}=C\)

(8) \(\int \ln (a x+b) \mathrm{d} x=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+C\)

(9) \(\int \mathrm{e}^{a x} \cos b x \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{a x}(a \cos b x)+b \sin b x}{a^{2}+b^{2}}+C\)

(10) \(\int \frac{1}{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)

(11) \(\int \cos (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)

(12) \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)

(13) \(\int \tan (a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C\)

(14) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)

(15) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C\)

(16) \(\int \frac{d x}{x \cdot \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+C\)

(17) \(\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+C\)

(18) \(\int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{a x}(a \sin b x)-b \cos b x}{a^{2}+b^{2}}+C\)

Cho hàm số \(u=u(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K, y=f(u)\) liên tục để \(f[u(x)]\) xác định trên \(K\) và\(\int f(u) d u=F(u)+C\) thì:

Cách giải:

Đầu tiên, chọn \(t=\varphi(x)\) và tính vi phân hai vế: \(d t=\varphi^{\prime}(t) d t\). 

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: \(f(x) d x=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) d t=g(t) d t\).

Kết quả: \(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\).

Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này: 

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì: 

∫𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)−∫𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 hay ∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢(với 𝑑𝑢=𝑢′(𝑥)𝑑𝑥, 𝑑𝑣=𝑣′(𝑥)𝑑𝑥)∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx hay ∫udv=uv−∫vdu(với du=u′(x)dx, dv=v′(x)dx)

Cách giải: 

Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:

𝐼=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑓1(𝑥)𝑓2(𝑥)𝑑𝑥I=∫f(x)dx=∫f1​(x)f2​(x)dx

Tiếp theo, đặt: 

{𝑢=𝑓1(𝑥)𝑑𝑣=𝑓2(𝑥)⟹{𝑑𝑢=𝑓1′(𝑥)𝑑𝑥𝑣=∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥{u=f1​(x)dv=f2​(x)​⟹{du=f1′​(x)dxv=∫f2​(x)dx​

Lúc này thì các em sẽ có:

∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢∫udv=uv−∫vdu

Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.

a. Dạng \(\int \sin ^{\mathrm{m}} \mathrm{x} \cdot \cos ^{\mathrm{n}} \mathrm{x} d x\) trong đó \(\mathrm{m}, \mathrm{n}\) là các số tự nhiên.

Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ:

Lũy thừa của \(\cos \mathrm{x}\) là số lè, \(\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1\) thì đồi biến \(\mathrm{u}=\sin \mathrm{x}\)

\(\begin{array}{l}\int \sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x=\int \sin ^{m} x\left(\cos ^{2} x\right)^{k} \cos x d x \\ =\int \sin ^{m} x\left(1-\sin ^{2} x\right)^{k} \cdot(\sin x)^{\prime} d x \\ =\int u^{m}\left(1-u^{2}\right)^{k} d u\end{array}\)

Lũy thừa của \(\sin \mathrm{x}\) là số lè, \(\mathrm{m}=2 \mathrm{k}+1\) thì đồi biến \(u=\cos x\)

\(\begin{array}{l}\int \sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x=\int \cos ^{n} x\left(\sin ^{2} x\right)^{k} \sin x d x \\ =-\int \cos ^{n} x \cdot\left(1-\cos ^{2} x\right)^{k}(\cos x)^{\prime} d x \\ =-\int\left(1-u^{2}\right)^{k} \cdot u^{n} d u\end{array}\)

Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của sinx, cosx để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.

b. Dạng

\(\int \sin a x \cdot \cos b x d x ; \int \sin a x \cdot \sin b x d x ; \int \cos a x \cdot \cos b x d x ; \int \cos a x \cdot \sin b x d x\)

Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.

\(\begin{array}{l}\int \cos a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x+\cos (a-b) x] d x \\ \int \sin a x \cdot \sin b x d x=-\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x-\cos (a-b) x] d x \\ \int \sin a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x+\sin (a-b) x] d x \\ \int \cos a x \cdot \sin b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x-\sin (a-b) x] d x\end{array}\)

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số:

A. \(\tan x+\cot x+C\).

B. \(\tan x-\cot x+C\).

C. \(-\tan x+\cot x+C\).

D. \(-\cot x-\tan x+C\).

Lời giải 

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

=> Chọn A.

Ví dụ Nguyên hàm của hàm số \(y=\sqrt{5 x-10}\) là:

A. \((5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)

B. \(\frac{2}{15}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)

C. \(\frac{6}{5}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)

D. \(\frac{10}{3}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)

Lời giải

Ta có:

Đặt u = \(5 \mathrm{x}-10\) ta được:

=>Chọn B.

Ví dụ 1 Tìm \(I=\int \frac{3 x-1}{x+1} d x\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(I=\int \frac{3(x+1)-4}{x+1} d x=\int\left(3-\frac{4}{x+1}\right) d x=3 x-4 \ln |x+1|+C\)

Ví dụ 2 Tìm \(I=\int \frac{2 x+1}{x-1} d x\)

Hướng dẫn giải

Ta có \(I=\int \frac{2(x-1)+3}{x-1} d x=\int\left(2+\frac{3}{x-1}\right) d x=2 x+4 \ln |x-1|+C\)

Xét hàm số sau đây: \(y=5.7^{x}+x^{2}\)

A. \(5 \cdot \frac{7^{x}}{\ln 7}+\frac{x^{3}}{3}+C\)

B. \(5.7^{x}+\frac{x^{3}}{3}+C\)

C. \(5 \cdot \frac{7^{x}}{\ln 7}+3 x^{3}+C\)

D. Tất cả sai

Giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đề bài là:

=>Chọn đáp án \(A\)