Công thức Nguyên hàm đầy đủ nhất & Bài tập thường gặp
Hãy cùng Examon tìm hiểu thêm về bảng Nguyên hàm và công thức Nguyên hàm để giải quyết các bài tập có liên quan nhé !
Mục lục bài viết
Đối với bộ môn Toán 12, việc hiểu và áp dụng kiến thức về nguyên hàm đóng vai trò vô cùng quan trọng, đặc biệt khi nó liên quan đến hàm số. Các bài tập về nguyên hàm thường xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia, do đó bảng nguyên hàm là một phần không thể thiếu trong chuẩn bị cho kì thi.
Tuy nhiên, phạm vi và độ khó của kiến thức về nguyên hàm là không nhỏ, đặc biệt đối với các bạn học sinh lớp 12. Hãy cùng nhau khám phá và nắm bắt các công thức nguyên hàm để giải quyết các bài toán một cách dễ dàng hơn qua chương trình học tại Examon !
1.Tổng hợp một số bảng công thức Nguyên hàm thường gặp
1.1. Bảng nguyên hàm của hàm hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
\[\begin{array}{l}\hline \int d \mathrm{x}=x+C \\\hline \int x^{\alpha} d \mathrm{x}=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1) \\\hline \int \frac{1}{x} d \mathrm{x}=\ln |x|+C \\\hline \int e^{x} d \mathrm{x}=e^{x}+C \\\hline \int a^{x} d \mathrm{x}=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a\gt 0, a \neq 1) \\\hline \int \sin x \mathrm{dx}=-\cos \mathrm{x}+C \\\hline \int \cos \mathrm{x} d \mathrm{x}=\sin x+C \\\hline \int \frac{1}{\cos ^{2} x} d \mathrm{x}=\tan x+C \\\hline \int \frac{1}{\sin ^{2} x} d \mathrm{x}=-\cot x+C \\\hline\end{array}\]1.2. Bảng nguyên hàm của hàm hàm số hợp
Nguyên hàm của hàm số hợp \((u=u(x))\)
\[\begin{array}{l}\int d \mathrm{u}=u+C \\\int u^{\alpha} d \mathrm{u}=\frac{1}{\alpha+1} u^{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1) \\\int \frac{1}{u} d \mathrm{u}=\ln |u|+C \\\int e^{u} d \mathrm{u}=e^{u}+C \mid \\\int a^{u} d \mathrm{u}=\frac{a^{u}}{\ln a}+C(a\gt 0, a \neq 1) \\\int \sin u \mathrm{du}=-\cos \mathrm{u}+C \\\int \cos \mathrm{udu}=\sin u+C \\\int \frac{1}{\cos ^{2} u} d \mathrm{u}=\tan u+C \\\int \frac{1}{\sin ^{2} u} d \mathrm{u}=-\cot u+C\end{array}\]1.3. Bảng nguyên hàm nâng cao
(i) \(\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C\)
(ii) \(\int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C=\frac{1}{a} \tanh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)
(iii) \(\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{1}{2 a} \log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C=-\frac{1}{a} \operatorname{coth}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)
(iv) \(\int \frac{d x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C\)
(v) \(\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|+C=\cosh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)
(vi) \(\left.\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\log 1 x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C=\sinh ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C\)
(vii) \(\int \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}+a^{2}}+a^{2} \log \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2} \mid}\right]+C\right.\)(viii) \(\left[\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{a^{2}-x^{2}}+a^{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right]+C\right.\)
(ix) \(\int \sqrt{x^{2}-a^{2}} d x=\frac{1}{2}\left[x \sqrt{x^{2}-a^{2}}-a^{2} \log \left|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right|\right]+C\)
(x) \(\int(p x+q) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x=\frac{p}{2 a} \int(2 a x+b) \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x\)
\[+\left(\frac{q-p b}{2 a}\right) \int \sqrt{a x^{2}+b x+c} d x\]1.4. Bảng nguyên hàm mở rộng
(1) \(\int(a x+b)^{\alpha} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \frac{(a x+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C(\alpha \neq-1)\)
(2) \(\int \mathrm{e}^{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \mathrm{e}^{a x+b}+C\)
(3) \(\int \sin (a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C\)
(4) \(\int \frac{1}{\sin ^{2}(a x+b)} \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\)
(5) \(\int \cot (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C\)
(6) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}-x^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\)
(7) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{|a|}=C\)
(8) \(\int \ln (a x+b) \mathrm{d} x=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+C\)
(9) \(\int \mathrm{e}^{a x} \cos b x \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{a x}(a \cos b x)+b \sin b x}{a^{2}+b^{2}}+C\)
(10) \(\int \frac{1}{a x+b} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+C\)
(11) \(\int \cos (a x+b) \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C\)
(12) \(\int \frac{1}{\cos ^{2}(a x+b)} \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C\)
(13) \(\int \tan (a x+b) \mathrm{d} x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C\)
(14) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C\)
(15) \(\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C\)
(16) \(\int \frac{d x}{x \cdot \sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+C\)
(17) \(\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{x \sqrt{a^{2}-x^{2}}}{2}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a}+C\)
(18) \(\int \mathrm{e}^{a x} \sin b x \mathrm{~d} x=\frac{\mathrm{e}^{a x}(a \sin b x)-b \cos b x}{a^{2}+b^{2}}+C\)
1.5. Bảng nguyên hàm lượng giác
2. Phương pháp giải bài tập nguyên hàm
2.1. Phương pháp đổi biến loại 1
Cho hàm số \(u=u(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K, y=f(u)\) liên tục để \(f[u(x)]\) xác định trên \(K\) và\(\int f(u) d u=F(u)+C\) thì:
\[\int f[u(x)] u^{\prime}(x) d x=F[u(x)]+C\]Cách giải:
Đầu tiên, chọn \(t=\varphi(x)\) và tính vi phân hai vế: \(d t=\varphi^{\prime}(t) d t\).
Sau đó, biến đổi biểu thức thành: \(f(x) d x=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) d t=g(t) d t\).
Kết quả: \(I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C\).
2.2. Phương pháp đổi biến loại 2
Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, chọn x = φ(t) và lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
2.3. Phương pháp chung
Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
∫𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)−∫𝑣(𝑥)𝑢′(𝑥)𝑑𝑥 hay ∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢(với 𝑑𝑢=𝑢′(𝑥)𝑑𝑥, 𝑑𝑣=𝑣′(𝑥)𝑑𝑥)∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx hay ∫udv=uv−∫vdu(với du=u′(x)dx, dv=v′(x)dx)
Cách giải:
Trước hết, các em cần biến đổi tích phân đầu tiên về dạng:
𝐼=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑓1(𝑥)𝑓2(𝑥)𝑑𝑥I=∫f(x)dx=∫f1(x)f2(x)dx
Tiếp theo, đặt:
{𝑢=𝑓1(𝑥)𝑑𝑣=𝑓2(𝑥)⟹{𝑑𝑢=𝑓1′(𝑥)𝑑𝑥𝑣=∫𝑓2(𝑥)𝑑𝑥{u=f1(x)dv=f2(x)⟹{du=f1′(x)dxv=∫f2(x)dx
Lúc này thì các em sẽ có:
∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢∫udv=uv−∫vdu
Tùy thuộc vào từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp sao cho phù hợp.
2.4. Dạng bài tập lượng giác
a. Dạng \(\int \sin ^{\mathrm{m}} \mathrm{x} \cdot \cos ^{\mathrm{n}} \mathrm{x} d x\) trong đó \(\mathrm{m}, \mathrm{n}\) là các số tự nhiên.
Trường hợp 1: Trong hai số m, n có ít nhất một số lẻ:
Lũy thừa của \(\cos \mathrm{x}\) là số lè, \(\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1\) thì đồi biến \(\mathrm{u}=\sin \mathrm{x}\)
\(\begin{array}{l}\int \sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x=\int \sin ^{m} x\left(\cos ^{2} x\right)^{k} \cos x d x \\ =\int \sin ^{m} x\left(1-\sin ^{2} x\right)^{k} \cdot(\sin x)^{\prime} d x \\ =\int u^{m}\left(1-u^{2}\right)^{k} d u\end{array}\)
Lũy thừa của \(\sin \mathrm{x}\) là số lè, \(\mathrm{m}=2 \mathrm{k}+1\) thì đồi biến \(u=\cos x\)
\(\begin{array}{l}\int \sin ^{m} x \cdot \cos ^{n} x d x=\int \cos ^{n} x\left(\sin ^{2} x\right)^{k} \sin x d x \\ =-\int \cos ^{n} x \cdot\left(1-\cos ^{2} x\right)^{k}(\cos x)^{\prime} d x \\ =-\int\left(1-u^{2}\right)^{k} \cdot u^{n} d u\end{array}\)
Trường hợp 2: Cả hai số m, n đều là số chẵn: Ta sử dụng công thức hạ bậc để giảm một nửa số mũ của sinx, cosx để làm bài toán trở nên đơn giản hơn.
b. Dạng
\(\int \sin a x \cdot \cos b x d x ; \int \sin a x \cdot \sin b x d x ; \int \cos a x \cdot \cos b x d x ; \int \cos a x \cdot \sin b x d x\)
Ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng trong lượng giác.
\(\begin{array}{l}\int \cos a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x+\cos (a-b) x] d x \\ \int \sin a x \cdot \sin b x d x=-\frac{1}{2} \int[\cos (a+b) x-\cos (a-b) x] d x \\ \int \sin a x \cdot \cos b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x+\sin (a-b) x] d x \\ \int \cos a x \cdot \sin b x d x=\frac{1}{2} \int[\sin (a+b) x-\sin (a-b) x] d x\end{array}\)
3. Một số bài tập Nguyên hàm
3.1. Tìm nguyên hàm của hàm số cho trước
Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số:
\[\mathrm{y}=\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x} ?\]A. \(\tan x+\cot x+C\).
B. \(\tan x-\cot x+C\).
C. \(-\tan x+\cot x+C\).
D. \(-\cot x-\tan x+C\).
Lời giải
Nguyên hàm của hàm số đã cho là:
\[\begin{array}{l}\int\left(\frac{1}{\cos ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right) d x \\=\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x \\=\tan x+\cot x+C\end{array}\]=> Chọn A.
3.4. Tìm nguyên hàm của hàm chứa căn thức bằng phương pháp đổi biến số (cực hay)
Ví dụ Nguyên hàm của hàm số \(y=\sqrt{5 x-10}\) là:
A. \((5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)
B. \(\frac{2}{15}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)
C. \(\frac{6}{5}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)
D. \(\frac{10}{3}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\)
Lời giải
Ta có:
\[\sqrt{5 x-10} \cdot d x=\frac{1}{5} \sqrt{5 x-10} \cdot d(5 x-10)\]Đặt u = \(5 \mathrm{x}-10\) ta được:
\[\begin{array}{l}\int \sqrt{5 x-10} d x=\int \frac{1}{5} \sqrt{5 x-10} \cdot d(5 x-10) \\=\int \frac{1}{5} \sqrt{u} d u=\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u \\=\frac{1}{5} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{15} \cdot u \sqrt{u}+c \\=\frac{2}{15}(5 x-10) \cdot \sqrt{5 x-10}+c\end{array}\]=>Chọn B.
3.2. Tính Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Ví dụ 1 Tìm \(I=\int \frac{3 x-1}{x+1} d x\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(I=\int \frac{3(x+1)-4}{x+1} d x=\int\left(3-\frac{4}{x+1}\right) d x=3 x-4 \ln |x+1|+C\)
Ví dụ 2 Tìm \(I=\int \frac{2 x+1}{x-1} d x\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(I=\int \frac{2(x-1)+3}{x-1} d x=\int\left(2+\frac{3}{x-1}\right) d x=2 x+4 \ln |x-1|+C\)
3.3. Tìm nguyên hàm hàm số mũ
Xét hàm số sau đây: \(y=5.7^{x}+x^{2}\)
A. \(5 \cdot \frac{7^{x}}{\ln 7}+\frac{x^{3}}{3}+C\)
B. \(5.7^{x}+\frac{x^{3}}{3}+C\)
C. \(5 \cdot \frac{7^{x}}{\ln 7}+3 x^{3}+C\)
D. Tất cả sai
Giải:
Ta có nguyên hàm của hàm số đề bài là:
\[\begin{aligned}I & =\int\left(5.7^{x}+x^{2}\right) d x=5 . \int 7^{x} d x+\int x^{2} d x \\& =5 \cdot \frac{7^{x}}{\ln 7}+\frac{x^{3}}{3}+C\end{aligned}\]=>Chọn đáp án \(A\)
Một số lời khuyên để học bảng nguyên hàm một cách hiệu quả
Lời kết
Nguyên hàm không chỉ là một phần của toán học, mà còn là một cuộc phiêu lưu thú vị mà chúng ta sẽ phải khám phá. Và hy vọng rằng Examon đã phần nào giúp bạn hiểu, áp dụng cũng như tìm thấy niềm đam mê với các công thức và dạng bài tập về Nguyên hàm.
Từ đó có thể vận dụng chúng một cách nhanh chóng. Đằng sau mỗi biểu thức, mỗi ký hiệu toán học là một thế giới rộng lớn đang chờ đợi tất cả chúng ta. Chúc các bạn đạt được những kết quả tốt đẹp và vui vẻ trong mỗi bước tiến tiếp theo!
Để biết thêm về cách học hiệu quả, hãy tham khảo phương pháp học hiệu quả nhất cùng Examon nhé.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99,9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!