Bài toán tìm hệ số của số hạng
Hệ số như kim chỉ nam, dẫn dắt ta chinh phục bài toán về số hạng trong khai triển nhị thức Newton. Cùng Examon trải nghiệm ngay!
Mục lục bài viết
Giữa mênh mông vô tận của thế giới toán học, bài toán tìm hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newton tựa như một bản tình ca ẩn chứa những bí mật diệu kỳ, chờ đợi những trái tim đam mê khám phá.
Như những giai điệu du dương dẫn lối tâm hồn, bài toán đưa ta đến với những phép toán tinh vi, nơi mà các con số được thổi hồn bởi trí tuệ và sự sáng tạo. Mỗi phép tính là một nốt nhạc, đan xen nhịp nhàng, tạo nên bản hòa tấu logic đầy mê hoặc.
Hành trình tìm kiếm hệ số ẩn chứa bao điều thú vị, khơi gợi niềm say mê bất tận cho những ai khao khát chinh phục. Từng bước giải mã, ta như lạc vào mê cung tri thức, nơi mà mỗi ngã rẽ đều dẫn ta đến những khám phá mới mẻ, bất ngờ.
Bài toán không chỉ thử thách trí tuệ mà còn rèn luyện sự kiên trì, nhẫn nại. Mỗi lần vấp ngã, mỗi lần tắc đường là cơ hội để ta trưởng thành, để ta thêm trân trọng giá trị của thành công sau những nỗ lực không ngừng nghỉ.
Giải mã bài toán tìm hệ số, ta không chỉ rèn luyện tư duy logic, sáng tạo mà còn đắm chìm trong vẻ đẹp tinh tế của toán học. Giống như tìm kiếm mảnh ghép hoàn hảo cho bức tranh nghệ thuật, ta miệt mài truy tìm hệ số, từng bước hé mở những bí ẩn ẩn giấu trong từng phép toán.
Hãy cùng Examon dấn thân vào hành trình chinh phục bài toán tìm hệ số, để đắm chìm trong thế giới toán học đầy mê hoặc, để cảm nhận những rung động diệu kỳ của trí tuệ và sự sáng tạo.
Bởi ở nơi đây, không chỉ có những con số khô khan, mà còn có những câu chuyện đầy lãng mạn và những bản tình ca bất tận, chờ đợi ta khám phá.
1. Công thức cần nhớ
Dạng toán tìm hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newton:
Cần nhớ
\(T_{k+1}=C_{n}^{k} a^{n-k} \cdot b^{k}\) và \(x^{n} \cdot x^{m}=x^{m+n}, \frac{x^{n}}{x^{m}}=x^{n-m},(x \cdot y)^{n}=x^{n} \cdot y^{n},\left(\frac{x}{y}\right)^{n}=\frac{x^{n}}{y^{n}}\).
2. Bài tập thực hành
2.1. Bài 1
Hệ số của số hạng chứa \(x^{7}\) trong khai triển nhị thức \(\left(x-\frac{2}{x \sqrt{x}}\right)^{12}(\) với \(x\gt 0)\) là:
A. 376 .
B. -264 .
C. 264 .
D. 260 .
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(x-\frac{2}{x \sqrt{x}}\right)^{12}\) (với \(\left.x\gt 0\right)\) là
\[T_{k+1}=C_{12}^{k} x^{12-k} \cdot\left(-\frac{2}{x \sqrt{x}}\right)^{k}=(-2)^{k} \cdot C_{12}^{k} \cdot x^{12-k} \cdot x^{-\frac{3 k}{2}}=(-2)^{k} \cdot C_{12}^{k} \cdot x^{12-\frac{5 k}{2}} \text {. }\]Số hạng trên chứa \(x^{7}\) suy ra \(12-\frac{5 k}{2}=7 \Leftrightarrow k=2\).
Vậy hệ số của số hạng chứa \(x^{7}\) trong khai triển trên là \(=(-2)^{2} \cdot C_{12}^{2}=264\).
2.2. Bài 2
Tìm hệ số của \(x^{25} y^{10}\) trong khai triển \(\left(x^{3}+x y\right)^{15}\).
A. 58690 .
B. 4004 .
C. 3003 .
D. 5005 .
Lời giải
Chọn C
Số hạng tổng quát của khai triển đã cho là \(C_{15}^{k} \cdot\left(x^{3}\right)^{15-k} \cdot(x y)^{k}=C_{15}^{k} \cdot x^{45-2 k} \cdot y^{k}\), với \(0 \leq k \leq 15, k \in \mathbb{N}\).
Số hạng này chứa \(x^{25} y^{10}\) khi và chỉ khi \(k=10\) (thỏa mãn).
Vậy hệ số của \(x^{25} y^{10}\) trong khai triển \(\left(x^{3}+x y\right)^{15}\) là \(C_{15}^{10}=3003\).
2.3. Bài 3
Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) trong khai triển nhị thức \(\left(1+x+3 x^{2}\right)^{10}\).
Lời giải
Ta có:
\[\begin{array}{l}\text { }\left(1+x+3 x^{2}\right)^{10}=\left[1+\left(x+3 x^{2}\right)\right]^{10} \\\quad\left(a=1, b=x+3 x^{2}, n=10\right) \\=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{b} \cdot 1^{10-k} \cdot\left(x+3 x^{2}\right)^{k}=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k}\left(x+3 x^{2}\right)^{k} \\\quad\left(a=x, b=3 x^{2}, n=k\right) \\=\sum_{k=0}^{10} C_{10}^{k} \cdot \sum_{p=0}^{k} C_{k}^{p} \cdot x^{k-p} \cdot\left(3 x^{2}\right)^{p} \\=\sum_{k=0}^{10} \sum_{p=0}^{k} C_{10}^{k} \cdot C_{k}^{p} \cdot x^{k-p} \cdot 3^{p} \cdot x^{2 p} \\=\sum_{k=0}^{10} \sum_{p=0}^{k} C_{10}^{k} \cdot C_{k}^{p} \cdot 3^{p} x^{k+p} .\end{array}\]Vì có số hạng \(x^{4} \Rightarrow k+p=4\) với điều kiện \(0 \leq p \leq k \leq 10,(p, k \in \mathbb{N})\) nên có bảng:
Do đó hệ số của số hạng chứa \(x^{4}\) là:
\[C_{10}^{4} C_{4}^{0} \cdot 3^{0}+C_{10}^{3} C_{3}^{1} \cdot 3^{1}+C_{10}^{2} C_{2}^{2} \cdot 3^{2}=1695\]3. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!