Bài toán thực tế về phương trình lượng giác

1. Phương pháp giải

Dựa vào dữ kiện đề bài để đưa ra phương trình lượng giác tương ứng, sau đó giải phương trình lượng giác hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng... để giải phương trình lượng giác, từ đó tìm ra kết quả theo yêu cầu của đề bài.

2. Ví dụ minh họa

2.1 Ví dụ 1

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(\mathrm{A}\) ở vĩ độ \(40^{\circ}\) Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

\[\mathrm{d}(\mathrm{t})=3 \sin \left[\frac{\pi}{182}(\mathrm{t}-80)\right]+12 \text {( } \mathrm{t} \in \mathrm{Z} \text { } 0 \leq \mathrm{t} \leq 365)\]

Vậy thành phố \(\mathrm{A}\) có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

Hướng dẫn giải

Giả sử thành phố \(\mathrm{A}\) có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(\mathrm{t}_{0}\).

Ta có: \(\mathrm{d}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=3 \sin \left[\frac{\pi}{182}\left(\mathrm{t}_{0}-80\right)\right]+12\)

Mà \(\mathrm{d}\left(\mathrm{t}_{0}\right)=12\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}3 \sin \left[\frac{\pi}{182}\left(\mathrm{t}_{0}-80\right)\right]+12=12 \\ \Leftrightarrow 3 \sin \left[\frac{\pi}{182}\left(\mathrm{t}_{0}-80\right)\right]=0 \\ \Leftrightarrow \sin \left[\frac{\pi}{182}\left(\mathrm{t}_{0}-80\right)\right]=0 \\ \Leftrightarrow \frac{\pi}{182}\left(t_{0}-80\right)=k \pi, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \mathrm{t}_{0}-80=182 \mathrm{k}, \mathrm{k} \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \mathrm{t}_{0}=182 \mathrm{k}+80, \mathrm{k} \in \mathrm{Z} \\ \mathrm{M} 0 \leq \mathrm{t}_{0} \leq 365 \\ \Leftrightarrow-80 \leq 182 \mathrm{k} \leq 285 \\ \Leftrightarrow-0,44 \leq k \leq 1,57\end{array}\)

Mà \(k \in Z\) nên \(k=0\) hoặc \(k=1\)

Nếu \(k=0\) thì \(\mathrm{t}_{0}=80\)

Nếu \(\mathrm{k}=1\) thì \(\mathrm{t}_{0}=262\)

Vậy thành phố \(\mathrm{A}\) có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262.

2.2 Ví dụ 2

Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu \(v_{0}=500\) \(\mathrm{m} / \mathrm{s}\) hợp với phương ngang một góc \(a\). Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y=\frac{-g}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}+x \tan \alpha\), ̛̛̉ đó \(\mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) là gia tốc trọng trường. Tính theo góc bắn \(a\) tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm chạm đất của quả đạn).

Hướng dẫn giải:

Vì \(\mathrm{v}_{0}=500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) và \(\mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là:

\[y=\frac{-9,8}{2.500^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}+x \tan \alpha=\frac{-49}{2500000 \cos ^{2} \alpha} x^{2}+x \tan \alpha\]

Quả đạn chạm đất khi \(y=0\), khi đó

\(\begin{array}{l}\frac{-49}{2500000 \cos ^{2} \alpha} x^{2}+x \tan \alpha=0 \\ \Leftrightarrow x\left(\frac{-49}{2500000 \cos ^{2} \alpha} x+\tan \alpha\right)=0 \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{x}=\frac{2500000 \cos ^{2} \alpha \cdot \tan \alpha}{49}\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=\frac{2500000 \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{49}\end{array}\right. \\ \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0 \\ \mathrm{x}=\frac{1250000 \sin 2 \alpha}{49}\end{array}\right. \\\end{array}\)

Loại \(x=0\) (đạn pháo chưa được bắn).

Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là \(x=\frac{1250000 \sin 2 \alpha}{49}(\mathrm{~m})\).

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(\mathrm{A}\) ở vĩ độ \(40^{\circ}\) Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

\[\mathrm{d}(\mathrm{t})=3 \sin \left\lceil\frac{\pi}{182}(\mathrm{t}-80)\right\rceil+12 \text {,(} \mathrm{t} \in \mathrm{Z} \text { ; } 0 \leq \mathrm{t} \leq 365 \text { })\]

Thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm?

A. 171 ;

B. 170 ;

C. 169 ;

D. 168.

Bài 2. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố \(\mathrm{A}\) ở vĩ độ \(40^{\circ}\) Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

\[d(t)=3 \sin \left[\frac{\pi}{182}(t-80)\right]+12 \text {(} t \in Z \text {;} 0 \leq t \leq 365 \text {)}\]

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?

A. 351 ;

B. 352 ;

C. 353 ;

D. 354 .

Bài 3. Một quả đạn pháp được bắn khỏi nòng pháp với vận tốc ban đầu \(v_{0}=500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\) hợp với phương ngang một góc \(a\). Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình \(y=\frac{-g}{2 v_{0}^{2} \cos ^{2} \alpha} x^{2}+x \tan \alpha\), ở đó \(\mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\) là gia tốc trọng trường. Tìm góc bắn \(a\) để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22000 \(\mathrm{m}\).

A. \(\alpha \approx 29^{\circ} 47^{\prime} 37^{\prime \prime}\);

B. \(\alpha \approx 28^{\circ} 47^{\prime} 36^{\prime}\);

С. \(\alpha \approx 29^{\circ} 47^{\prime} 30^{\prime \prime}\);

D. \(\alpha \approx 29^{\circ} 40^{\prime} 36^{\prime \prime}\).

Bài 4. Trong hình vẽ, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm \(\mathrm{O}\) và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật \(\mathrm{A}\) gắn ở đầu lò xo dao động quanh \(\mathrm{O}\). Tọa độ \(\mathrm{S}(\mathrm{cm})\) của \(\mathrm{A}\) trên trục \(\mathrm{Ox}\) vào thời điểm \(\mathrm{t}\) (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức \(s=10 \sin \left(10 t+\frac{\pi}{2}\right)\). Vào thời điểm nào dưới dây thì \(\mathrm{s}=-5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}\) ?

A. \(\frac{-\pi}{3}\);

B. \(\frac{-\pi}{12}\);

C. \(\frac{-\pi}{6}\);

D. \(\frac{-\pi}{4}\).

Bài 5. Theo Định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số \(\frac{\sin i}{\sin r}\), với i là góc tới và r là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là \(45^{\circ}\) thì góc khúc xạ bằng \(30^{\circ}\). Khi góc tới là \(60^{\circ}\) thì góc khúc xạ là bao nhiêu?

A. \(30^{\circ}\);

B. \(45^{\circ}\);

C. \(38^{\circ}\);

D. \(60^{\circ}\).

Bài 6. Vận tốc của con lắc đơn \(v(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})\) được cho bởi công thức:

\[v(t)=-4 \cos \left(\frac{2}{3} t+\frac{\pi}{4}\right) \text {. }\]

Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đơn bằng \(2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\) ?

A. \(-\frac{5 \pi}{8}\); B. \(\frac{5 \pi}{3}\); C. \(\frac{\pi}{8}\); D. \(\frac{5 \pi}{8}\).

Bài 7. Wận tốc của con lắc đơn \(v(\mathrm{~cm} / \mathrm{s})\) được cho bởi công thức: \(v(t)=2 \sin \left(2 t+\frac{\pi}{6}\right)\).Tại thời điểm nào dưới đây thì vận tốc của con lắc đớn bằng \(2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}\) ?

A. \(\frac{\pi}{4}\); B. \(\frac{\pi}{3}\); C. \(\frac{\pi}{8}\); D. \(\frac{\pi}{6}\).

Bài 8. Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h \((\mathrm{m})\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \leq \mathrm{t} \leq 24\) ) cho bởi công thức \(h=3 \cos \left(\frac{\pi}{6} t\right)+12\). Một giá trị của \(t\) để độ sâu của mực nước là \(15 \mathrm{~m}\) là

A. 0 giờ; B. 1 giờ; C. 2 giờ; D. 3 giờ.

Bài 9 . Chiều cao \(h(\mathrm{~m})\) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm \(t\) giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h(t)=30+20 \sin \left(\frac{\pi}{25} t+\frac{\pi}{3}\right)\). Cabin đạt độ cao tối đa là bao nhiêu?

A. \(30 \mathrm{~m}\);

B. \(40 \mathrm{~m}\);

C. \(50 \mathrm{~m} ;\)

D. \(60 \mathrm{~m}\).

Bài 10. Chiều cao \(\mathrm{h}(\mathrm{m})\) của một cabin trên vòng quay vào thời điểm \(\mathrm{t}\) giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \(h(t)=30+20 \sin \left(\frac{\pi}{25} t+\frac{\pi}{3}\right)\). Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao \(40 \mathrm{~m}\) lần đầu tiên?

A. 48,5 giây;

B. 12,5 giây;

C. 13,48 giây;

D. 45,6 giây.

4. Học tập hiệu quả cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: phương pháp giải, ví dụ, bài tập củng cố về Bài toán thực tế về phương trình lượng giác. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!