Bài toán thực tế về hàm số lượng giác
Trên đây là bài viết tổng hợp đầy đủ, ngắn gọn về cách làm bài toán thực tế về hàm số lượng giác
Mục lục bài viết
Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống. Trong những năm gần đây, theo xu thế mới trong kỳ thi THPT Quốc gia đối với bộ môn Toán, số lượng các câu hỏi mang tính bài toán thực tế ngày càng nhiều. Điều này gây ra những khó khăn nhất định cho các em học sinh khi làm bài thi môn Toán, kể cả những học sinh khá giỏi.
Hơn nữa, số lượng các bài toán thực tế vận dụng kiến thức “hàm số lượng giác” trong đề thi tương đối nhiều. Do đó, Examon đã tổng hợp lý thuyết và bài tập thực tế về hàm số lượng giác dể giúp cho các bạn học sinh vượt qua các kì kiểm tra.
1. Phương pháp giải
1.1 Cách làm
* Để giải các Bài toán thực tế về hàm số lượng giác, ta thực hiện như sau:
Bước 1: Đọc, hiểu nội dung bài toán thực tiễn đã cho.
Bước 2: Phân tích bài toán để nhận diện bài toán thuộc nội dung kiến thức nào liên quan đến hàm số lượng giác.
Bước 3: Dùng kiến thức đã học, giải bài toán.
Bước 4: Kết luận.
1.2 Kiến thức cần nhớ
* Hàm số \(y=\) sin \(x\)
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
- Tập giá trị: \([-1 ; 1]\).
- Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
- Tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\).
* Hàm số \(y=\cos x\)
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
- Tập giá trị: \([-1 ; 1]\).
- Hàm số y = cosx là hàm số chẵn.
- Tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=2 \pi\).
* Hàm số \(y=\tan x\)
- Tập xác định: \(\mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\left\{\left.\frac{\pi}{2}+\mathrm{k} \pi \right\rvert\, \mathrm{k} \in \mathbb{Z}\right\}\).
- Tập giá trị: \(\mathbb{R}\).- Hàm số y = tanxlà hàm số lẻ.
- Tuần hoàn với chu kì \(T=\pi\).
* Hàm số \(y=\cot x\)
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \backslash(k \pi \mid k \in \mathbb{Z})\).
- Tập giá trị: \(\mathbb{R}\).
- Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.
- Tuần hoàn với chu kì \(\mathrm{T}=\pi\).
Chú ý: \(\forall x \in \mathbb{R}, \mathrm{n} \in \mathbb{N}^{\star}\) ta luôn có:
\[\begin{array}{l}\text { +) }-1 \leq \sin x \leq 1, \quad-1 \leq \sin ^{2 n+1} x \leq 1 \text {. } \\\text { +) }-1 \leq \cos x \leq 1, \quad-1 \leq \cos ^{2 n+1} x \leq 1 \text {. } \\\text { +) } 0 \leq|\sin x| \leq 1, \quad 0 \leq \sin ^{2 n} x \leq 1 \text {. } \\\text { +) } 0 \leq|\cos x| \leq 1, \quad 0 \leq \cos ^{2 n} x \leq 1 \text {. }\end{array}\]2. Ví dụ minh họa
2.1 Ví dụ 1
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của mực nước được mô hình hóa bởi hàm số \(h(t)=90 \cos \left(\frac{\pi}{10} t\right)\), trong đó \(h(t)\) là độ cao tính bằng centimet trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.
a) Tìm chu kì của sóng.
b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Lời giải chi tiết
a) Hàm số \(h(t)=90 \cos \left(\frac{\pi}{10} t\right)\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{10}}=20\).
Vậy chu kì của sóng là \(T=20\) giây.
b) Hàm số \(h(t)=90 \cos \left(\frac{\pi}{10} t\right)\) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt là 90 và - 90 .
Vây chiều cao của sóng là \(180 \mathrm{~cm}\).
2.2 Ví dụ 2
Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: \(x=3 \cos \omega t\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây, \(x\) là li độ dao động tính bằng centimet, \(\omega\) là hằng số \((\omega\gt 0)\). Khi đó, chu kì T của dao động là \(T=\frac{2 \pi}{\omega}\).Xác định giá trị của li độ khi \(\mathrm{t}=0, \mathrm{t}=\frac{T}{4}, \mathrm{t}=\frac{T}{2}, \mathrm{t}=\frac{3 T}{4}, \mathrm{t}=\mathrm{T}\) và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn \([0 ; 2 T]\).
Lời giải chi tiết
- Từ \(T=\frac{2 \pi}{\omega}\) ta có \(\omega=\frac{2 \pi}{T}\). Khi đó ta có phương trình li độ là \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\).
+ Tại \(\mathrm{t}=0\) thì \(\mathrm{x}=3 \cos 0=3(\mathrm{~cm})\);
+ Tại \(\mathrm{t}=\frac{T}{4}\) thì \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right)=3 \cos \frac{\pi}{2}=0\) (cm);
+ Tại \(\mathrm{t}=\frac{T}{2}\) thì \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{T}{4}\right)=3 \cos \frac{\pi}{2}=0\) (cm);
+ Tại \(\mathrm{t}=\frac{3 T}{4}\) thì \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} \cdot \frac{3 T}{4}\right)=3 \cos \frac{3 \pi}{2}=0(\mathrm{~cm})\);
+ Tại \(\mathrm{t}=\mathrm{T}\) thì \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} \cdot T\right)=3 \cos 2 \pi=3\) (cm).
- Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn \([0 ; 2 T]\) :
Ta có bảng sau:
Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\) trên đoạn \([0 ; T]\) song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài \(\mathrm{T}\), ta sẽ nhận được đồ thị hàm số \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\) trên đoạn \([T ; 2 T]\).
Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa \(x=3 \cos \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\) trên đoạn \([0 ; 2 T]\) như sau:
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \(\mathrm{t}\) (giờ) trong một ngày bởi công thức \(h(t)=3 \cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi}{4}\right)+12\). Mực nước của con kênh cao nhất khi
A. \(\mathrm{t}=13\) (giờ);
B. \(=14\) (giờ);
C. \(\mathrm{t}=15\) (giờ);
D. \(\mathrm{t}=16\) (giờ).
Bài 2. Một cây cầu có dạng cung \(\mathrm{OA}\) là một phần của đồ thị hàm số \(y=4,8 \sin \frac{x}{9}\) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như hình dưới.
Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng \(\mathrm{OA}\). Chiều rộng đó (làm tròn đến kết quả hàng phần mười) là
A. \(28,3 \mathrm{~m}\);
B. \(14,1 \mathrm{~m}\);
C. \(18,3 \mathrm{~m}\);
D. \(24,1 \mathrm{~m}\).
Bài 3. Trong Địa lí, phép chiếu hình trụ được sử dụng để vẽ một bản đồ phẳng như trong hình vẽ. Trên bản đồ phẳng lấy đường xích đạo làm trục hoành và kinh tuyến \(0^{\circ}\) làm trục tung. Khi đó tung độ của một điểm có vĩ độ \(\varphi^{\circ}(-90\lt \varphi\lt 90)\) được cho bởi hàm số \(y=20 \tan \left(\frac{\pi}{180} \varphi\right)(\mathrm{cm})\). Sử dụng đồ thị hàm số tan, hãy cho biết những điểm ở vĩ độ nào nằm cách xích đạo không quá \(20 \mathrm{~cm}\) trên bản đồ.
A. Vĩ độ từ \(-120^{\circ}\) đến \(120^{\circ}\);
B. Vĩ độ từ \(-75^{\circ}\) đến \(75^{\circ}\);
C. Vĩ độ từ \(-45^{\circ}\) đến \(45^{\circ}\);
D. Vĩ độ từ \(-90^{\circ}\) đến \(90^{\circ}\).
Bài 4. Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin \(M\) phụ thuộc vào góc lượng giác \(\alpha=(O x, O M)\) theo hàm số \(v_{x}=0,3 \sin a(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) (hình vẽ). Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết trong vòng quay đầu tiên \((0 \leq \alpha \leq 2 \pi)\), góc \(\alpha\) ở trong khoảng nào sau đây thì \(v_{x}\) giảm?
A. \(\left(\frac{\pi}{2} ; 2 \pi\right)\);
B. \(\left(\frac{3 \pi}{2} ; 2 \pi\right)\);
C. \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\);
D. \(\left(\frac{\pi}{2} ; \pi\right)\).
Bài 5. Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng \(3 \mathrm{~m}\). Xét gàu \(\mathrm{G}\) của guồng. Ban đầu gàu \(\mathrm{G}\) nằm ở vị trí \(\mathrm{A}\) (hình vẽ). Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu \(G\) so với mặt nước theo góc \(a=(O A\), OG).
A. \(\mathrm{h}=3 \sin a ;\)
B. \(h=3+3\) sina;
C. \(h=1+3 \sin a ;\)
D. \(h=2+3\) sin \(a\).
4. Học tập hiệu quả cùng Examon
Trên đây là bài viết mà Examon muốn giành cho các bạn, hy vọng sau khi đọc song thì những bài toán thực tế về hàm số lượng giác không còn có thể làm khó được các bạn học sinh nữa. Đồng hành cùng Examon để vượt qua mọi kì thi và biết thêm nhiều kiến thức bổ ích.
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!