Bài toán kết hợp cấp số nhân và cấp số cộng

Định nghĩa : \(u_{n}\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}=u_{n} . q\), với \(n \in \mathbb{N}^{*}\)

Công bội : \(q=\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\)

Tính chất: \(u_{k}^{2}=u_{k-1}\). \(u_{k+1}\) hay \(\left|u_{k}\right|=\sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}}, k \geq 2\)

Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1} . q^{n-1},(n \geq 2)\)

Tổng \(\mathrm{n}\) số hạng đầu :  \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(q^{n}-1\right)}{q-1},(q \neq 1)\).

Định nghĩa : \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số cộng  \(\Leftrightarrow u_{n+1}=u_{n}+d, n \in N^{*}\)

Công sai : \(d = u_{n+1} - u_n\)

Tính chất : \(\mathrm{u}_{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{k}-1}+\mathrm{u}_{\mathrm{k}+1}}{2}, k \geq 2\)

Số hạng tổng quát : \(u_{n}=u_{1}+(n-1) d\) với \(n \in N^{*}, n \geq 2\).

Tổng n số hạng đầu : \(\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_{1}+\mathrm{u}_{2}+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{u}_{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)}{2}=\frac{\mathrm{n}\left[2 \mathrm{u}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}\right]}{2}\)

Bài 1 :Ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng \(21\).Nếu lần lượt thêm các số \(2 ; 3 ; 9\) vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính \(F=x^{2}+y^{2}+z^{2}\).

Lời giải

Theo tính chất của cấp số cộng, ta có \(x+z=2 y\).

Kết hợp với giả thiết \(x+y+z=21\), ta suy ra \(3 y=21 \Leftrightarrow y=7\).

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng thì \(x=y-d=7-d\) và \(z=y+d=7+d\).

Sau khi thêm các số \(2 ; 3 ; 9\) vào ba số \(x, y, z\) ta được ba số là \(x+2, y+3, z+9\) hay \(9-d, 10,16+d\).

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có :

\((9-d)(16+d)=10^{2} \Leftrightarrow d^{2}+7 d-44=0\).

Giải phương trình ta được \(d=-11\) hoặc \(d=4\).

Với \(d=-11\), cấp số cộng \(18,7,-4\) thì \(F=389\).

Với \(d=4\), cấp số cộng \(3,7,11\) thì \(F=179\).

Bài 2 : Ba số \(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\), theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội \(q \neq 1\); đồng thời, các số \(x, 2 y, 3 z\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 . Hãy tìm q.

Lời giải

Nhận thấy \(x \neq 0\), vì nếu ngược lại thì \(y=z=0\) và do đó cấp số cộng \(x, 2 y, 3 z\).

Vì \(x, y, z\) là cấp số nhân với công bội q nên

Vì \(x, 2 y, 3 z\) là cấp số cộng nên

Từ (1) và (2) ta được

Bài 3 : Các số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số \(x+\frac{5}{3}, y-1,2 x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm \(x\) và \(y\).

Lời giải

Ba số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng nên :

\((x+6 y)+(8 x+y)=2(5 x+2 y) \Leftrightarrow x=3 y\).

Ba số \(x+\frac{5}{3}, y-1,2 x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân nên :

\(\left(x+\frac{5}{3}\right)(2 x-3 y)=(y-1)^{2}\).

Thay \(x=3 y\) vào ta được \(8 y^{2}+7 y-1=0 \Leftrightarrow y=-1\) hoặc \(y=\frac{1}{8}\).

Với \(y=-1\) thì \(x=-3\); với \(y=\frac{1}{8}\) thì \(x=\frac{3}{8}\).