Bài toán kết hợp cấp số nhân và cấp số cộng

1. Kiến thức cần nhớ

1.1 Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

\(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow \forall n \geq 2, u_{n}=u_{n-1} \cdot q\)

Số q trong công thức nêu trên được gọi là công bội của cấp số nhân

1.2 Cấp số cộng

Cấp số cộng là khái niệm để chỉ một dãy số hữu hạn hay vô hạn, kể từ số hạng thứ 2 mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng đằng trước và một số d (công sai) cố định.

\[\Leftrightarrow \forall n \geqslant 2, U_{n-1}+d ; n \in N^{*}\]

2. Phương pháp giải

Để giải được các bài toán liên quan đến cấp số nhân và cấp số cộng thì các bạn cần nắm vững các công thức, tính chất và điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân, cấp số cộng.

3. Ví dụ minh họa

3.1 Ví dụ 1

Một cấp số cộng và một cấp số nhân đều là các dãy tăng các số hạng thứ nhất cúa hai dãy số đều bằng 3 , các số hạng thứ hai bằng nhau. Ti số giữa các số hạng thứ ba cúa \(\operatorname{CSN}\) và \(\operatorname{CSC}\) là \(\frac{9}{5}\). Tìm tích ba số hạng cúa cấp số cộng thóa mãn tính chất trên:

A. 405 .

B. 1215 .

C. 729 .

D. 680 .

Lời giải chi tiết

Gọi \(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \mathrm{u}_{3}\) là ba số hạng liên tiếp của CSC.

Gọi \(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\) là ba số hạng liên tiếp cúa CSN.

Theo đề bài ta có hệ phưong trình:

\(\left\{\begin{array}{l}u_{1}=a_{1}=3 \\ u_{2}=a_{2} \\ \frac{a_{3}}{u_{3}}=\frac{9}{5}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}=a_{1}=3 \\ u_{1}+d=a_{1} q \\ 5 a_{3}=9 u_{3}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_{1}=a_{1}=3 \\ 3+d=3 q(2) \\ 5\left(a_{1} q^{2}\right)=9\left(u_{1}+2 d\right)\end{array}\right.\right.\right.\)

Tù (2) có \(\mathrm{d}=3 \mathrm{q}-3\) thay vào (3) được: \(15 \mathrm{q}^{2}=9(3+6 \mathrm{q}-6) \Leftrightarrow 5 \mathrm{q}^{2}-18 \mathrm{q}+9=0 \Leftrightarrow \mathrm{q}=3 \vee \mathrm{q}=\frac{3}{5}\)

Chọn \(\mathrm{q}=3\) (vì dãy tăng) \(\Rightarrow \mathrm{d}=6\)

Kết luận: 3 số hạng cúa CSC cần tìm: \(u_{1}=3, u_{2}=9, u_{3}=15\)

3 số hạng cúa \(\mathrm{CSN}\) cần tìm: \(\mathrm{a}_{1}=3, \mathrm{a}_{2}=9, \mathrm{a}_{3}=27\).

Chọn A

3.2 Ví dụ 2

Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một \(\mathrm{CSC}\), ba số hạng sau thành lập CSN. Biết rằng tổng cúa số hạng đầu và số hạng cuối là 37 , tổng cúa hai số hạng giữa là 36 . Tìm tổng bốn số đó.

A. 143 .

B. 234.

C. 0

D. 100 .

Lời giải chi tiết

Gọi bốn số nguyên dương cần tìm là: \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\).

Theo đề bài có \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) là ba số hạng liên tiếp cúa CSC.Ta có: \(\mathrm{a}+\mathrm{c}=2 \mathrm{~b}\) (1)

Ba số hạng \(\mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\) là ba số hạng liên tiếp cúa CSN. Ta có: \(\mathrm{b} . \mathrm{d}=\mathrm{c}^{2}\) (2)

Theo giá thuyết đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}a+d=37 \\ b+c=36\end{array}\right.\)

Tù (4) có: \(\mathrm{b}=36-\mathrm{c}\) thay vào (1) được \(\mathrm{a}+\mathrm{c}=72-2 \mathrm{c} \Rightarrow \mathrm{a}=72-3 \mathrm{c}\)

thay a vào (3) dược:

\[\mathrm{d}=37-72+3 c \Leftrightarrow d=-35+3 c \text {. }\]

Thay \(b\), \(d\) vào (2) được:

\((36-c)(-35+3 c)=c^{2}\)

\(\Leftrightarrow 4 c^{2}-143 c+1260=0 \Leftrightarrow c=20 \vee c=\frac{63}{4}\)

Với \(\mathrm{c}=20 \Rightarrow \mathrm{b}=16, \mathrm{a}=12, \mathrm{~d}=95\).

Chọn A

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp cúa một \(\mathrm{CSN}\), hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ hai mươi lăm của một CSC. Tìm tổng các số đó:

A. 114 .

B. 123 .

C. 223 .

D. 122 .

Bài 2: Một \(\operatorname{CSN}\) và \(\mathrm{CSN}\) đều có số hạng đầu tiên là bằng 5 , số hạng thứ hai cúa CSC lón hơn số hạng thú hai cúa \(\mathrm{CSN}\) là 10 , còn các số hạng thứ 3 cúa hai cấp số thì bằng nhau. Tìm tổng các số hạng cúa cấp số cộng biết công bội cúa cấp số nhân không âm.

A. 92 .

B. 75 .

C. 65 .

D. Đáp án khác.

Bài 3: Ba số \(x, y, z\) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Ba số \(x, y-4, z\) theo thứ tự đó lập thành CSN. Đồng thời các số \(x, y-4, z-9\) theo thứ tự đó lập thành CSC. Tìm \(y\).

A. 2 .

B. 3 .

C. 4

D. Đáp án khác.

5. Đồng hành cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức

Bài viết này Examon đã tổng hợp đầy đủ ngắn gọn từ A đến Z cho các bạn học sinh dễ dàng tiếp cận. Hy vọng sau khi đọc song bài viết các bạn học sinh có thể nẵm vững các kiến thức và áp dụng vào các bài kiểm tra đạt kết quả tốt. Cùng Examon trên con đường tìm kiếm tri thức.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HIỆU QUẢ

Có bao giờ bạn tự hỏi tại điểm kiểm tra của mình thấp không?

Mình cũng từng bị như vậy và luôn hỏi tại sao suốt 1 thời gian dài và giờ mình đã tìm ra câu trả lời “Đó chính là phương pháp học không đúng".

Để học hiệu quả bạn nên làm những gì?

Đầu tiên nên thiết kế lộ trình bứt phá điểm số của mình như sau:

Bước 1: Bạn cần có 1 cuốn sổ tay để ghi chú

Bước 2: Bạn nên đọc hiểu rõ Phân phối chương trình môn mình muốn cải thiện

Vd: Toán 10 CTST có PPCT như sau:

BÀI HỌC PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH SGK	Tiết
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
Bài 1. Mệnh đề toán học	3
Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1

Bước 3: Bạn tìm hiểu Chương I có bao nhiêu dạng bài tập, mỗi dạng phương pháp giải như thế nào?, những điểm cần lưu ý, lỗi sai thường gặp

Bước 4: Giải bài tập theo từng dạng, giải càng nhiều càng tốt, cứ mỗi bài bạn giải sai bạn sẽ phải xem hướng dẫn giải chi tiết từ đó so sánh chỗ sai của mình xem mình sai ở đâu? tại sao lại sai? trường hợp sai có bao nhiêu trường hợp?

Bước 5: Ghi chú lỗi sai vào sổ tay, nhớ liệt kê lỗi sai theo dạng toán

Bước 6: Cuối kỳ mình chuẩn bị kiểm tra giữa kỳ hoặc cuối kỳ thì lấy sổ tay ra đọc qua 1 lần và tiến hành giải đề, cứ lập lại liên tục trước khi thi sẽ giúp bạn tối đa hoá điểm số trong kỳ thi và đồng thời tránh rất nhiều lỗi sai mà mình đã gặp nếu gặp trong đề thi.

Đó là quá trình mình ôn thi NHƯNG hiện tại có 1 hệ thống giúp bạn quản lý sổ tay như phương pháp ở trên cực kỳ hiệu quả đó là EXAMON

Hệ thống luyện thi Examon được thiết kế giống phương pháp học ở trên tối ưu hoá sổ tay giúp bạn luyện tập hiệu quả hơn gấp 200%

Examon sẽ phân phối chương trình theo từng dạng toán mỗi một dạng toán sẽ có bài tập luyện, quá trình luyện của bạn sẽ được ghi vào sổ tay để AI Examon phân tích đánh giá bạn đang sai ở đâu, lỗi sai thường ở dạng bài tập nào? mức độ bài sai ở Nhận Biết - Thông Hiểu - Vận Dụng - Vận Dụng Cao từ đó Examon sẽ đề xuất các câu tương tự câu sai để bạn luyện tập đi luyện tập lại cứ như thế vòng lặp liên tục giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài tập đồng thời bao quát tất cả các dạng toán thường sai tránh tối đa những sai sót lúc đi thi.

Ngoài ra hệ thống Examon định hướng học sinh học theo 3 tiêu chí:

1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng

2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình chính là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cho mọi sự phát triển.

Sơ đồ tối ưu hoá cải thiện Điểm số cho học sinh