Bài toán áp dụng công thức nhân đôi

Phạm Linh

Lại một dạng toán về lượng giác nữa cần tìm hiểu, đó là dạng bài toán áp dụng công thức nhân đôi. Các bạn học sinh lớp 11 đã sẵn sàng cùng Examon chưa.

menu icon

Mục lục bài viết

  • 1. Phương pháp giải
  • 2. Ví dụ minh họa
  • Ví dụ 1:
    • Ví dụ 1:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 2:
    • Ví dụ 2:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 3:
    • Ví dụ 3:
    • Đáp án và lời giải
  • Ví dụ 4:
    • Ví dụ 4:
    • Đáp án và lời giải
  • 3. Lời kết
  • Chinh phục tâm lý khi học

Ở dạng bài toán áp dụng công thức nhân đôi này ta sẽ áp dụng các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc của lượng giác. Hãy học thuộc công thức trước để khi tìm hiểu các bài tập dạng này không bị bỡ ngỡ nhé.

banner

1. Phương pháp giải

Để làm bài tập dạng này, ta cần nắm vững các công thức lượng giác đã học và công thức nhân đôi, công thức hạ bậc như sau:

Công thức nhân đôi\(\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\) \(\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\)

\(\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\)

Công thức hạa bậc

 \(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2}\)

 \(\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2}\)

2. Ví dụ minh họa

Dưới đây là một số ví dụ minh họa về bài toán áp dụng công thức nhân đôi.

Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon
Bộ đề ôn cấp tốc 30 ngày cùng Examon

Ví dụ 1:

Ví dụ 1:

Ví dụ 1: Tính các giá trị lượng giác của cung  \(2 \alpha\),trong các trường hợp sau:

a) \(\cos \alpha=\frac{1}{4}, 0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\),

b) \(\sin \alpha=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\)

Đáp án và lời giải

a, Ta có:

\[\begin{array}{l}\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=2 \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-1=\frac{-7}{8} \\\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha=1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{16} \Rightarrow \sin \alpha= \pm \frac{\sqrt{15}}{4}\end{array}\]

Vì \(0\lt \alpha\lt \frac{\pi}{2}\) nên điểm cuối của cung \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ I, do đó sin \(\alpha\gt 0\)

Suy ra \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\)

Ta có:

\[\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=2 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} \cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}}{8} \\+\tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=\frac{-\sqrt{15}}{7} \\+\cot 2 \alpha=\frac{1}{\tan 2 \alpha}=\frac{-7}{\sqrt{15}}\end{array}\]

b, \(\sin \alpha=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\)Ta có:

\[\cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha=\frac{16}{25} \Rightarrow \cos \alpha= \pm \frac{4}{5}\]

Vì \(\frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) nên điểm cuối của cung a thuộc góc phần tư thứ II, do đó \(\cos \alpha\lt 0\)

Suy ra \(\cos \alpha=\frac{-4}{5}\)

Ta có:

\[\begin{array}{l}\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=2 \cdot \frac{3}{5} \cdot\left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25} \\\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=2 \cdot\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}-1=\frac{7}{25} \\\tan 2 \alpha=\frac{\sin 2 \alpha}{\cos 2 \alpha}=\frac{-24}{7} \\\cot 2 \alpha=\frac{1}{\tan 2 \alpha}=-\frac{7}{24}\end{array}\]

Ví dụ 2:

Ví dụ 2:

Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức: \(\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2 x}\)

Đáp án và lời giải

\[\begin{aligned}\mathrm{VT} & =\tan x+\cot x \\& =\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x} \\& =\frac{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x}{\sin x \cdot \cos x} \\& =\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \\& =\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \sin 2 x}=\frac{2}{\sin 2 x}=\mathrm{VP}\end{aligned}\]

Suy ra đpcm

Ví dụ 3:

Ví dụ 3:

Ví dụ 3: Cho \(\frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi\) và \(\cos \alpha=-\frac{2}{3}\). Biết \(\mathrm{A}=\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha=a+b \sqrt{5}\) với \(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathbb{Q}\) và \(\frac{a}{b}=\frac{p}{q}\) là phân số tối giản. Tính \(\mathrm{p}-\mathrm{q}\).

A. 3

B. 1

C. -3

D. -1

Đáp án và lời giải

\[\begin{array}{l}\text { + Do } \frac{\pi}{2}\lt \alpha\lt \pi \text { nên } \sin \alpha\gt 0, \cos \alpha\lt 0 . \\+\cos \alpha=-\frac{2}{3} \Rightarrow \sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha=\frac{5}{9} \Rightarrow \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3} \\+\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{4 \sqrt{5}}{9} \\+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=2 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}-1=-\frac{1}{9}\end{array}\]

Suy ra A \(=\sin 2 \alpha+\cos 2 \alpha\)

\[\begin{array}{l}=-\frac{4 \sqrt{5}}{9}-\frac{1}{9}=\frac{-1}{9}-\frac{4}{9} \sqrt{5} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{9} \\b=-\frac{4}{9}\end{array}\right. \\\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1}{4} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}p=1 \\q=4\end{array} \Rightarrow p-q=1-4=-3 .\right.\end{array}\]

Đáp án C

Ví dụ 4:

Ví dụ 4:

Ví dụ 4: Cho \(\sin \alpha=\frac{3}{5}, \alpha \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\). Giá trị của biểu thức \(\mathrm{A}=\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)\) là:

A. \(-\frac{17 \sqrt{2}}{50}\)

B. \(\frac{17 \sqrt{2}}{50}\)

C. \(\frac{31 \sqrt{2}}{50}\)

D. \(-\frac{31 \sqrt{2}}{50}\)

Đáp án và lời giải

Ta có:

 \(\cos ^{2} \alpha=1-\sin ^{2} \alpha=\frac{16}{25}\).

Do \(\alpha \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) nên \(\cos \alpha\gt 0 \Rightarrow \cos \alpha=\frac{4}{5}\).

Suy ra:

\[\begin{array}{l}+\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha=2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25} \\+\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=2 \cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-1=\frac{7}{25}\end{array}\]

Do đó:

 \(\mathrm{A}=\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{4}\right)\)

\[\begin{array}{l}=\cos 2 \alpha \cos \frac{\pi}{4}-\sin 2 \alpha \sin \frac{\pi}{4} \\=\frac{7}{25} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{24}{25} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{17 \sqrt{2}}{50}\end{array}\]

Đáp án \(A\)

3. Lời kết

Sau khi mổ sẽ nhiều dạng bài của lượng giác thì ta thấy chương này sẽ không quá khó. Đặc biệt là các bài vận dụng công thức như bào toán áp dụng công thức nhân đôi. Chăm chỉ học thì sẽ đánh bại được tâm lý sợ bài khó thôi

Chinh phục tâm lý khi học

Một chương toán học luôn luôn có nhiều dạng bài. Chỉ có học và làm bài tập thì mới hiểu dạng bài để khi gặp mới không bị tâm lý sợ hãi với các bài toán. Vậy nên đừng dừng việc học ở các lý thuyết suông mà hãy tích cực tìm hiểu thêm nhiều dạng toán để học tốt hơn. Và nếu bạn chưa biết thì Examon có đa số đầy đủ các dạng toán chờ bạn tìm hiểu đó.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau. 

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác,  Examon sẽ giúp bạn:

  • Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
  • Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
  • Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của  Examon:

  • Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
  • Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
  • Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
  • Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
  • Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!