Bài tập xác định các đại lượng của cấp số nhân
Dễ dàng giải bài tập Toán học 11 cùng Examon! Khám phá cách xác định các đại lượng: số hạng đầu tiên, công bội, tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Mục lục bài viết
Bắt đầu hành trình khám phá thế giới đầy thú vị của cấp số nhân: Giải mã bí ẩn các đại lượng!
Bạn đang muốn tìm kiếm bí kíp chinh phục các bài tập về cấp số nhân? Hãy cùng Examon đi vào thế giới toán học đầy kỳ thú này với hướng dẫn chi tiết về cách xác định các đại lượng quan trọng (số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ n, tổng n số hạng...). Nắm vững kiến thức, bạn sẽ tự tin giải quyết mọi bài toán về cấp số nhân, dù đơn giản hay phức tạp.
Bài tập xác định các đại lượng của cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình toán học THPT, giúp học sinh rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích và ứng dụng kiến thức toán học vào thực tế. Bài viết này cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hướng dẫn giải chi tiết giúp bạn học tốt dạng bài tập này. Với sự chăm chỉ và nỗ lực, học sinh hoàn toàn có thể chinh phục loại bài tập này một cách hiệu quả.
Toán học, với những con số và phép toán tưởng chừng đơn giản, lại ẩn chứa vô vàn bí ẩn và vẻ đẹp mê hoặc. Trong đó, cấp số nhân, một dãy số đặc biệt với mối quan hệ chặt chẽ giữa các số hạng, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực, từ khoa học tự nhiên đến kinh tế và tài chính. Việc xác định các đại lượng của cấp số nhân là bước đầu tiên để khám phá những quy luật và ứng dụng thú vị của nó.
Giống như một bản nhạc du dương, cấp số nhân sở hữu một cấu trúc hài hòa, nơi mỗi số hạng ngân nga giai điệu của riêng mình, nhưng lại hòa quyện với nhau tạo nên bản giao hưởng hoàn chỉnh.
1. Nhắc lại kiến thức
a) Định nghĩa
Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi \(q\).
Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q\), ta có công thức truy hồi:
\(u_{n+1}=u_{n} q\) với \(n \in \mathbb{N}^{*}\).
Đặc biệt:
- Khi \(q=0\), cấp số nhân có dạng \(u_{1}, 0,0, \ldots, 0, \ldots\)
- Khi \(q=1\), cấp số nhân có dạng \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\)
- Khi \(u_{1}=0\) thì với mọi \(q\), cấp số nhân có dạng \(0,0,0, \ldots, 0, \ldots\)
b) Số hạng tổng quát
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức
\(u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}\) với \(n \geq 2 \text {. }\)
Chú ý: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
\(u_{k}^{2}=u_{k-1} \cdot u_{k+1} \) với \(k \geq 2 \text {. }\)
c) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\).
Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\).
Khi đó \(S_{n}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\).
Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n u_{1}\).
2. Phương pháp
Vận dụng linh hoạt các công thức ở định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất của cấp số nhân.
3. Ví dụ minh hoạ
3.1. Ví dụ 1
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(\mathrm{q}\lt 0\) và \(u_{2}=4, u_{4}=9\). Tìm \(u_{1}\).
Lời giải
Vì \(q\lt 0, u_{2}\gt 0\) nên \(u_{3}\lt 0\).
Do đó \(u_{3}=-\sqrt{u_{2} \cdot u_{4}}=-\sqrt{4.9}=-6\); \(u_{2}^{2}=u_{1} \cdot u_{3} \Rightarrow u_{1}=\frac{u_{2}^{2}}{u_{3}}=\frac{4^{2}}{-6}=-\frac{8}{3}\).
3.2. Ví dụ 2
Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) biết \(u_{1}+u_{5}=51 ; u_{2}+u_{6}=102\). Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) ?
Lời giải
Gọi \(\mathrm{q}\) là công bội của cấp số nhân đã cho. Theo đề bài, ta có
\[\left\{\begin{array} { l } { u _ { 1 } + u _ { 5 } = 5 1 } \\{ u _ { 2 } + u _ { 6 } = 1 0 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}u_{1}\left(1+q^{4}\right)=51 \\u_{1} q\left(1+q^{4}\right)=102\end{array} \Rightarrow q=2 \Rightarrow u_{1}=3 \Rightarrow u_{n}=3.2^{n-1}\right.\right. \text {. }\]Mặt khác \(u_{n}=12288 \Leftrightarrow 3.2^{n-1}=12288 \Leftrightarrow 2^{n-1}=2^{12} \Leftrightarrow n=13\).
3.3. Ví dụ 3
Cho tứ giác \(\mathrm{ABCD}\) có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có công bội bằng 2 . Tìm 4 góc ấy.
Lời giải
\[\left\{\begin{array} { l } { U _ { 1 } + U _ { 2 } + U _ { 3 } + U _ { 4 } = 3 6 0 ^ { \circ } } \\{ q = 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } { U _ { 1 } \frac { 1 - q ^ { 4 } } { 1 - q } = 3 6 0 ^ { \circ } } \\{ q = 2 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}U_{1}=24^{\circ} \\q=2\end{array}\right.\right.\right.\]Vậy 4 góc là: \(24,48,96,192\).
4. Cùng Examon chinh phục sự thành công
Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.
Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.
Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:
- Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
- Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
- Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.
Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:
- Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
- Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
- Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
- Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
- Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.
Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!
