Bài tập tự luyện Nguyên hàm

Tìm nguyên hàm  F(x) của hàm số  f(x)= sinx + cosx thỏa \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\)

A. \(F(x)=\cos x-\sin x+3\)

B. \(F(x)=-\cos x+\sin x+3\)

C. \(F(x)=-\cos x+\sin x-1\)

D. \(F(x)=-\cos x+\sin x+1\)

giải:

\(F(x)=\int(\sin x+\cos x) d x\)

\(=-\cos x+\sin x+C\)

=> \(F\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+C=2 \Rightarrow C=1\)

Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn f'(x)=3-5sinx và f(0)=10. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. \(f(x)=3 x+5 \cos x+5\)

B. \(f(x)=3 x+5 \cos x+2\)

C. \(f(x)=3 x-5 \cos x+2\)

D. \(f(x)=3 x-5 \cos x+15\)

giải:

\(f(x)=\int(3-5 \sin x) d x=3 x+5 \cos x+C\)

=> \(f(0)=5+C=10 \Rightarrow C=5\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^{x}+2 x\) thỏa mãn F(0)=3/2. Tìm F(x)

A. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{3}{2}\)

B. \(F(x)=2 e^{x}+x^{2}-\frac{1}{2}\)

C. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{5}{2}\)

D. \(F(x)=e^{x}+x^{2}+\frac{1}{2}\)

giải:

\(F(x)=\int\left(e^{x}+2 x\right) d x=e^{x}+x^{2}+C\)

\(F(0)=1+C=\frac{3}{2} \Rightarrow C=\frac{1}{2}\)

F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x-1}\) và \(F(2)=1\). Tính \(F(3)\)

A. \(F(3)=\ln 2-1\)

B. \(F(3)=\ln 2+1\)

C. \(F(3)=\frac{1}{2}\)

D. \(F(3)=\frac{7}{4}\)

giải:

\(F(x)=\int \frac{1}{x-1} d x=\ln |x-1|+C\)

\(F(2)=C=1 \Rightarrow F(3)=1+\ln 2\)

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=x+2^{x}\)

A. \(\int f(x) d x=1+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C\)

B. \(\int f(x) d x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C\)

C. \(\int f(x) d x=\frac{x^{2}}{2}+2^{x} \ln 2+C\)

D. \(\int f(x) d x=\frac{x^{2}}{2}+2^{x}+C\)

giải:

\(\int\left(x+2^{x}\right) d x=\frac{x^{2}}{2}+\frac{2^{x}}{\ln 2}+C\).

Hàm số F(x) = 2sinx - 3cosx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. \(f(x)=2 \cos x+3 \sin x\)

B. \(f(x)=-2 \cos x+3 \sin x\)

C. \(f(x)=-2 \cos x-3 \sin x\)

D. \(f(x)=2 \cos x-3 \sin x\)

giải:

\(F^{\prime}(x)=2 \cos x+3 \sin x\).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\sin \frac{x}{2}\right)\)

A. \(\int f(x) d x=\frac{1}{4} x^{2}-\cos \frac{x}{2}+C\)

B. \(\int f(x) d x=x^{2}+\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}+C\)

C. \(\int f(x) d x=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}+C\)

D. \(\int f(x) d x=\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{4} \cos \frac{x}{2}+C\)

giải:

\(\int \frac{1}{2}\left(x+\sin \frac{x}{2}\right) d x=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}-2 \cos \frac{x}{2}\right)+C\)

\(=\frac{1}{4} x^{2}-\cos \frac{x}{2}+C\).

Hàm số F(x)\(=2 \sin x-3 \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây

A. \(f(x)=2 \cos x+3 \sin x\)

B. \(f(x)=-2 \cos x+3 \sin x\)

C. \(f(x)=-2 \cos x-3 \sin x\)

D. \(f(x)=2 \cos x-3 \sin x\)

giải:

\(F^{\prime}(x)=2 \cos x+3 \sin x\).

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{2 x+1}\)

A. \(\int f(x) d x=\frac{1}{2} \ln (2 x+1)+C\)

B. \(\int f(x) d x=-\frac{2}{(2 x+1)^{2}}+C\)

C. \(\int f(x) d x=\ln |2 x+1|+C\)

D. \(\int f(x) d x=\frac{1}{2} \ln |2 x+1|+C\)

giải:

\(: \int \frac{1}{2 x+1} d x=\frac{1}{2} \ln |2 x+1|+C\).

Cho \(\int f(x) d x=F(x)+C\) với a khác 0. Khẳng định nào đúng?

A. \(\int f(a x+b) d x=F(a x+b)+C\)

B. \(\int f(a x+b) d x=a F(a x+b)+C\)

C. \(\int f(a x+b) d x=\frac{1}{a x+b} F(a x+b)+C\)

D. \(\int f(a x+b) d x=\frac{1}{a} F(a x+b)+C\)

giải:

\(\int f(a x+b) d x \xrightarrow{a x+b=t} I=\int f(t) d\left(\frac{t-b}{a}\right)\)

\(=\frac{1}{a} \int f(t) d t=\frac{1}{a} \int f(x) d x\)

\(=\int f(a x+b) d(a x+b)\)

\(=\frac{1}{a}\left[F(a x+b)+C^{\prime}\right]\)

\(=\frac{1}{a} F(a x+b)+C\)

Tìm nguyên hàm của \(f(x)=e^{x}\left(1-3 e^{-2 x}\right)\) 

A. \(F(x)=e^{x}-3 e^{-3 x}+C\)

B. \(F(x)=e^{x}+3 e^{-x}+C\)

C. \(F(x)=e^{x}-3 e^{-x}+C\)

D. \(F(x)=e^{x}+3 e^{-2 x}+C\)

giải:

\(f(x)=e^{x}\left(1-3 e^{-2 x}\right)=e^{x}-\frac{3}{e^{x}}\)

\(\Rightarrow \int f(x) d x=e^{x}-\int \frac{3}{\left(e^{x}\right)^{2}} d\left(e^{x}\right)\)

\(=e^{x}+\frac{3}{e^{x}}+C\)

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cos 5 x \cos x\) thȯa mãn \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=0\). Tính \(F\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

A. \(F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{12}\)

B. \(F\left(\frac{\pi}{6}\right)=0\)

C. \(F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{8}\)

D. \(F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\)

giải:

\(f(x)=\frac{1}{2}[\cos (5 x+x) \cos (5 x-x)]\)

\(=\frac{1}{2}(\cos 6 x+\cos 4 x)\)

=> \(F(x)=\int f(x) d x=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 6 x}{6}+\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 4 x}{4}+C\)

=> \(F\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{16}+C=0\)

=> \(C=\frac{\sqrt{3}}{16} \Rightarrow F\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{8}\).

Cho hàm số f(x) thỏa \(f^{\prime}(x)=1-4 \sin 2 x\) và \(f(0)=10\). Tính \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\)

A. \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+10\)

B. \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+12\)

C. \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+6\)

D. \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+8\)

giải:

\(f(x)=\int(1-4 \sin 2 x) d x=x+2 \cos 2 x+C\)

mà \(f(0)=10 \Rightarrow C=8\)

Do đó ta có \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}+8\)

Cho hàm số \(f(x)=2 x+\sin x+2 \cos x\). Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa F(0)=1

A. \(F(x)=x^{2}+\cos x+2 \sin x-2\)

B. \(F(x)=2+\cos x+2 \sin x\)

C. \(F(x)=x^{2}-\cos x+2 \sin x\)

D. \(F(x)=x^{2}-\cos x+2 \sin x+2\)

giải:

\(F(x)=\int(2 x+\sin x+2 \cos x) d x\)

\(=x^{2}-\cos x+2 \sin x+C\)

Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\cos ^{2} x\)

A. \(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C\)

B. \(\frac{x}{2}-\frac{\cos 2 x}{4}+C\)

C. \(\frac{x}{2}+\frac{\cos 2 x}{4}+C\)

D. \(\frac{x}{2}+\frac{\sin 2 x}{4}+C\)

giải:

\(\int \cos ^{2} x d x=\int \frac{1+\cos 2 x}{2} d x\)

\(=\frac{x}{2}+\frac{1}{4} \sin 2 x+C\).

Để thực hiện nhiệm vụ môn Toán trong trường hợp THPT, một trong những yêu cầu đặc biệt về tri thức và kỹ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp, đặc biệt là những phương pháp có tính chất thuật toán và những kĩ năng tương ứng.

Chẳng hạn như tri thức là kỹ năng giải toán vằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng chứng minh toán học, kỹ năng hoạt đọng tư duy hàm,...Tuy nhiên tùy theo nội dung toán học mà có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau

Có 2 phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giải toán

+ Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra kỹ năng giải toán. Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thời gian nhất, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độ của học sinh

+ Phương pháp trực tiếp: Giao viên soạn thành những bài giảng về những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ. Phương pháp này hiệu quả hơn và dễ nâng cao độ phức tạp của các bài toán cần giải quyết

Việc đi học thêm 1 lớp có 30 hs nhưng chỉ học duy nhất 1 bộ giáo trình là khó cho giáo viên vì mỗi học sinh đều có 1 năng lực khác nhau có học sinh giỏi VẬT LÝ yếu XÁC SUẤT như vậy học sinh đi học thêm sẽ mất cả X2 thời gian là điều không cần thiết, thay vì mình dùng \(1 / 2\) time tiết kiệm luyện thêm 1 phần VECTƠ giúp học sinh rút ngắn thời gian luyện tập và tăng hiệu quả học.

Với nỗi băn khoăn ấy đội ngũ founder Examon đã xây dựng nên 1 bộ đề học hiệu quả cao và cá nhân hóa việc học đến từng năng lực học sinh, cùng với sự hỗ trợ Gia sư AI sẽ giúp hs có trải nghiệm học tức thì và cải thiện ĐIỂM SỐ NHANH  \(200 \%\)

Hệ thống Examon thiết kế hỗ trợ người học với 3 tiêu chí sau:

-1: Rèn luyện khả năng tự học: Tự học luôn là yếu tố quan trọng quyết định

-2: Học kỹ năng tư duy giải bài: Hầu hết học sinh hiểu bài nhưng không cách nào diễn đạt cho bạn mình hiểu cái mình đang hiểu là do thiếu kỹ năng này

-3: Học từ lỗi sai: Nên dành nhiều thời gian để khám phá lỗi sai của chính mình là phương pháp học nhanh nhất, học từ cái sai của mình và học từ cái sai của người khác là 1 kỹ năng rất cần thiết cũng như rất quan cho mọi sự nâng cao trình độ.

Từ tiêu chí số \(\mathbf{3}\) Học từ lỗi sai đội ngũ chuyên môn đã nghiên cứu cách học và phát triển thành công công nghệ Al Gia sư Toán Examon với tính năng vượt trội hỗ trợ người học trong quá trình làm bài tập trên hệ thống đề thi Examon, gia sư Al sẽ ghi lại tất cả các lỗi sai của bạn đưa vể hệ thống trung tâm dữ liệu để phân tích 

Nhằm phát hiện năng lực của từng học sinh từ đó đưa ra các đề xuất bài tập phù hợp với từng cá nhân nhằm giúp người học rút ngắn thời gian luyện tập những kiến thức bị hỏng hoặc yếu nhất của mình tiến đến cải thiện kỹ năng làm bài thi giúp nhanh cán mốc SỐ ĐIỂM mình mơ ước.