Bài tập tự luyện hay nhất về cấp số nhân

1. Lý thuyết về cấp số nhân

1.1 Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Nếu \(\left(u_{n}\right)\) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:

\[u_{n+1}=u_{n} q \text { với } n \in N^{*}\]

1.2 Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu \(u_{1}\) và công bội q thì số hạng tổng quát \(u_{n}\) được xác định bởi công thức

\[u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1} \text {( } n \geq 2)\]

1.3 Tính chất

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\[u_{k}^{2}=u_{k-1} u_{k+1} \text {( } k \geq 2)\]

1.4 Tổng n số hạng của cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) với công bội \(q \neq 1\). Đặt \(S_{n}=u_{1}+u_{2}+\ldots+u_{n}\). Khi đó

\[\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{u_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}\]

Chú ý: Nếu \(q=1\) thì cấp số nhân là \(u_{1}, u_{1}, u_{1}, \ldots, u_{1}, \ldots\) khi đó \(S_{n}=n_{1}\).

2. Phương pháp giải

Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân:

\[u_{n}=u_{1} \cdot q^{n-1}, n \geq 1\]

Tính chất:

\[\begin{array}{l}u_{n}^{2}=u_{n-1} \cdot u_{n+1} \forall n \geq 2 \\S_{n}=u_{1}+\cdots+u_{n}=\frac{u_{1} \cdot\left(q^{n}-1\right)}{q-1} ; q \neq 1\end{array}\]

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(u_{n}=5 n+3, n \geq 1\)

B. \(u_{n}=4+3^{n}, n \geq 1\)

C. \(\left\{\begin{array}{c}u_{1}=3 \\ u_{n+1}=7 u_{n}, n \geq 1\end{array}\right.\)

D. \(\left\{\begin{array}{c}u_{1}=2 \\ u_{n+1}=u_{n}^{2}, n \geq 1\end{array}\right.\)

Lời giải:

Đáp án: C (CSN với công bội là 7).

Bài 2: Cho cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) có \(u_{1}=5 ; u_{2}=8\). Tìm \(u_{4}\)

A. \(512 / 25\)

B. \(125 / 512\)

C. \(625 / 512\)

D. \(512 / 125\)

Lời giải:

Đáp án: A

\[\mathrm{q}=\frac{u_{2}}{u_{1}}=\frac{8}{5} ; u_{4}=u_{1} \cdot q^{3}=5\left(\frac{8}{5}\right)^{3}=\frac{512}{25}\]

Bài 3: Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 , số hạng thứ tư bằng 6 . Tính tổng của cấp số nhân đó?

A. \(9-21 \sqrt{2}\)

B. \(\frac{1}{2}(18-21 \sqrt{2})\)

C. \(\frac{1}{2}(18+21 \sqrt{2})\)

D. \(9+21 \sqrt{2}\)

Lời giải:

Kí hiệu \(\mathrm{U}_{1}, \mathrm{U}_{2}, \mathrm{U}_{3}, \mathrm{U}_{4}, \mathrm{U}_{5}\) là các số hạng của cấp số nhân

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}u_{2}=3 \\ u_{4}=6\end{array} \Rightarrow q^{2}=2 \Rightarrow q=\sqrt{2}( {} q\gt 0)\right.\)

\[\Rightarrow u_{1}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} ; u_{2}=3 ; u_{3}=3 \sqrt{2} ; u_{4}=6 ; u_{5}=6 \sqrt{2}\]

Khi đó \(\mathrm{S}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=9+\frac{21}{2} \sqrt{2}=\frac{1}{2}(18+21 \sqrt{2})\)

Đáp án C

Bài 4: Cho tam giác \(A B C\) cân \((A B=A C)\), có cạnh đáy \(B C\), đường cao \(A H\), cạnh bên \(A B\) theo thứ tự số đo lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

A. \(\sqrt{2(\sqrt{2}+1)}\)

B. \(\frac{1}{2} \sqrt{\sqrt{2}+1}\)

C. \(\frac{1}{2} \sqrt{2(\sqrt{2}+1)}\)

D. \(\sqrt{2}+1\)

Lời giải:

Đáp án: C

Theo giả thiết \(\mathrm{AB}=\mathrm{AC}, \mathrm{BC}, \mathrm{AH}, \mathrm{AB}\) lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:

\[\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{q}=\frac{B C}{A H}=\frac{2 H C}{A H}=2 \cot C \\\frac{1}{q}=\frac{A H}{A B}=\sin B\end{array}\right.\]

Từ đó ta có kết quả sau:

\(2 \cot C=\sin C \Leftrightarrow 2 \cos C=\sin ^{2} C=1-\cos ^{2} C\)

\(\Leftrightarrow \cos ^{2} C+2 \cos C-1\)

\(=0 \Rightarrow \cos \mathrm{C}=-1+\sqrt{2}\left(0^{\circ}\lt \mathrm{C}\lt 90^{\circ}\right)\)

Do \(C\) là góc nhọn nên \(\sin C=\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}\).

Cho nên công bội của cấp số nhân là:

\[\mathrm{q}=\frac{1}{\sin C}=\frac{1}{\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}}=\frac{1}{2} \sqrt{2(\sqrt{2}+1)}\]

Bài 5: Tìm các số \((x, y)\) biết \(y\lt 0\) và các số \(x+6 y, 5 x+2 y, 8 x+y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số \(x+5 / 3, y-1,2 x-3 y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. \((3,-1)\)

B. \((-3,-1)\)

C. \((-1,-3)\)

D. \((-1,3)\)

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có hệ phương trình:

\[\left\{\begin{array}{c}x+6 y+8 x+y=2(5 x+2 y) \\\left(x+\frac{5}{3}\right)(2 x-3 y)=(y-1)^{2}\end{array}\right.\]

Từ đó ta suy ra

\[\left\{\begin{array}{c}x=3 y \\2 x^{2}-y^{2}-3 x y+\frac{10}{3} x-3 y-1=0\end{array}\right.\]

Thế (1) vào (2) ta được: \(8 \mathrm{y}^{2}+7 \mathrm{y}-1=0 \Rightarrow \mathrm{y}=-1\) hoặc \(\mathrm{y}=1 / 8\)Do \(\mathrm{y}\lt 0\), ta được \(\mathrm{y}=-1, \mathrm{x}=-3\)

Bài 6: Trong các dãy số sau dãy số nào là cấp số nhân?

A. \(1,3,5,7,9\)

B. \(-1,-3,1,3,5\)

C. \(1,2,4,16,256\)

D. \(1,2,4,8,16\)

Lời giải:

Đáp án: D

(CSN với công bội là 2).

Bài 7: Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số nhân?

A. \(u_{n}=\frac{n+1}{n-1}\)

B. \(u_{n}=2 n\)

C. \(u_{n}=2^{n}\)

D. \(u_{n}=n^{3}+3 n\)

Lời giải:

Đáp án C vì \(\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2\)

Bài 8: Số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left(u_{n}\right)\) thoả mãn hệ \(\left\{\begin{array}{l}u_{4}-u_{2}=72 \\ u_{5}-u_{3}=144\end{array}\right.\)

A. 2

B. 12

C. 24

D. 0

Lời giải:

Đáp án: B

\[\left\{\begin{array} { c } { u _ { 4 } - u _ { 2 } = 7 2 } \\{ u _ { 5 } - u _ { 3 } = 1 4 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { u _ { 1 } q ( q ^ { 2 } - 1 ) = 7 2 } \\{ u _ { 1 } q ^ { 2 } ( q ^ { 2 } - 1 ) = 1 4 4 }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}q=2 \\u_{1}=12\end{array} .\right.\right.\right.\]

Bài 9: Cho ba số tạo thành một cấp số nhân mà tổng của chúng bằng 93 . Ta có thể sắp xếp chúng (theo thứ tự của cấp số nhân kế trên) như là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng. Tìm tích của 3 số đó.

A. 3375

B. 64

C. 2744

D. 1000

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 3 số cần tìm là \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\).

Vi 3 số trên là số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ bảy của một cấp số cộng nên ta có \(\left\{\begin{array}{c}b=a+d \\ c=a+6 d\end{array}\right.\) (với d là công sai của cấp số cộng đó).

3 số trên tạo thành cấp số nhân với tổng là 93 nên ta có:

\[\begin{array}{c}\left\{\begin{array} { c } { a + b + c = 9 3 } \\{ a c = b ^ { 2 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}a+a+d+a+6 d=93 \\a(a+6 d)=(a+d)^{2}\end{array}\right.\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { 3 a + 7 d = 9 3 } \\{ d = 4 a }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}a=3 \\d=12\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Vậy \(\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=15, \mathrm{c}=75\).

Tích ba số trên là \(3.15 .75=3375\).

Bài 10: Tìm số hạng đầu của cấp số nhân có bốn số hạng, biết tổng ba số hạng đầu bằng \(16 \frac{4}{9}\), đồng thời theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.

A. 4

B. \(16 / 9\)

C. \(2 / 3\)

D. -1

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 4 số cần tìm là \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}\).

Vi 3 số hạng đầu là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng nên ta có \(\left\{\begin{array}{l}b=a+3 d \\ c=a+7 d\end{array}\right.\) (với d là công sai của cấp số cộng đó).

Từ giả thiết ta có:

\[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}a+b+c=16 \frac{4}{9} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}a+a+3 d+a+7 d=16 \frac{4}{9} \\a(a+7 d)=(a+3 d)^{2}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow=b^{2}\end{array}\right. \\\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { a = 9 d } \\{ 3 a + 1 0 d = 1 6 \frac { 4 } { 9 } }\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a=4 \\d=\frac{4}{9}\end{array}\right.\right.\end{array}\]

Vậy số hạng đầu là 4.

4. Học tập mỗi ngày cùng Examon

Như vậy, bài viết này Examon đã chia sẻ cho các bạn 3 phần: phương pháp giải, ví dụ, bài tập củng cố về Bài tập tự luyện hay nhất về cấp số nhân. Bạn có thể tham khảo và áp dụng vào bài làm của mình. Mong rằng bài viết sẽ giúp ích cho các bạn. Cảm ơn bạn đã lựa chọn Examon là nơi để tham khảo và học hỏi kiến thức.

Đã bao giờ bạn tự hỏi tại sao việc luyện đề lại quan trọng đến vậy không? Rất nhiều bạn đã mắc sai lầm nghiêm trọng khi luyện đề: Không phải mọi bộ đề đều giống nhau.

Nhiều bạn vẫn thường tìm kiếm và làm những bộ đề cũ kỹ, lỗi thời trên mạng mà không biết rằng chúng có thể không phản ánh chính xác chương trình học hay xu hướng ra đề mới nhất. Điều này không chỉ khiến bạn mất thời gian mà còn có thể dẫn đến những hiểu lầm về năng lực thực sự của mình.

Luyện đề đúng cách là phương pháp để bạn có thể nhận diện các dạng bài tập thường gặp, nắm vững phương pháp giải quyết hiệu quả và từ đó, nâng cao kỹ năng giải đề của mình. Với hệ thống đề được cập nhật liên tục và chính xác, Examon sẽ giúp bạn:

Nhận diện các dạng bài thi quan trọng.
Luyện tập với các phương pháp làm bài tối ưu.
Thành thạo kỹ năng giải đề, sẵn sàng cho mọi kỳ thi.

Dưới đây, Examon sẽ hướng dẫn bạn cách luyện đề hiệu quả với hệ thống đề của Examon:

Bước 1: Tạo và Đăng nhập tài khoản Đầu tiên, các bạn cần có một tài khoản Examon. Chỉ với vài thao tác đăng ký nhanh chóng, bạn đã sẵn sàng cho hành trình chinh phục kiến thức!
Bước 2: Tiếp theo, hãy chọn lớp học, môn học mà bạn muốn luyện và khu vực bạn đang sống để Examon cung cấp đề thi phù hợp nhất với bạn.
Bước 3: Lựa chọn đề thi và Bắt đầu luyện, Examon có hai chế độ: Luyện tập để bạn làm quen và Thi thử để kiểm tra năng lực. Hãy chọn một đề thi phù hợp và bắt đầu luyện!
Bước 4: Khi làm bài, hãy tập trung và nghiêm túc như thể bạn đang ở trong phòng thi thật sự. Đây là cơ hội để rèn luyện sự tự tin và kỹ năng giải quyết vấn đề của bạn.
Bước 5: Nhận điểm và Phân tích kết quả sau khi hoàn thành, bạn sẽ nhận được điểm số ngay lập tức cùng với lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, giúp bạn hiểu rõ mình cần cải thiện ở đâu.

Tham khảo ngay bộ đề được biên soạn đặc biệt bám sát 99.9% đề tham khảo kỳ thi THPT năm 2024 của Examon ngay!